Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là điểm bất kì thuộc cạnh BC (BM < 1⁄2BC). Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng phần một cách tuần tự. Chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất cơ bản của tam giác cân và một số định lý hình học.

**Giả thiết:**
- Tam giác ABC có AB = AC.
- M là điểm thuộc cạnh BC với BM < 1/2 BC.
- N là điểm trên tia đối của CB sao cho BM = CN.
- E là giao điểm của đường thẳng vuông góc tại M với AB.
- F là giao điểm của đường thẳng vuông góc tại N với phần kéo dài của AC.
- D là giao điểm của đường thẳng qua F song song với AB với BC.
- I là giao điểm của EF với BC.
- K là giao điểm của đường thẳng vuông góc tại A với đường trung trực của EF.

### Phần a) CMR: EM = FN
Ta có, do M thuộc BC và N thuộc tia đối của CB, với BM = CN, hai tam giác BME và CNF có:
- BM = CN
- Góc BME = Góc CNF (đều vuông tại M và N).
Do đó, hai tam giác này đồng dạng, từ đó suy ra EM = FN.

### Phần b) CMR: MD = BN
Kẻ đường FD // AB => D chính là hình chiếu của F lên BC. Do đó, chúng ta có:
- MD = ME (do M thuộc BC và D là hình chiếu của F)
- BN = BM + MN (BM = CN là bằng nhau, M và N ở cùng một bên).
Từ đó, vì EM = FN, ta suy ra MD = BN.

### Phần c) CMR: IE = IF
Ta có:
- M và N là hai điểm đối xứng qua đường thẳng BC khi kẻ đường vuông góc.
- Do đó, EF là đường thẳng đi qua hai điểm có khoảng cách bằng nhau với BC (cùng chiều dài từ M đến BC và từ N đến BC), suy ra IE = IF.

### Phần d) CMR: KB vuông AB
K là giao điểm của hai đường thẳng:
1. Đường vuông góc tại A.
2. Đường trung trực của EF.

Đường trung trực của EF sẽ chia đoạn EF thành hai đoạn bằng nhau tại K, bởi vì nó luôn vuông góc với EF. Và do A nằm trên đường thẳng này, ta có K nằm trên đường vuông góc từ A. Điều này dẫn đến K là một điểm nằm trên đường trung trực của EF.

Cuối cùng, tứ giác ABK là một tứ giác vuông vì K nằm ở trung điểm EF và đường thẳng qua K vuông góc EF, đồng thời nằm trên đường vuông góc tại A. Từ đó, ta có KB vuông góc với AB.

### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh đầy đủ các yêu cầu trong bài toán.