Tìm tọa độ giao điểm A, B của (P): \(y = -\frac{x^2}{2}\) và đường thẳng \(y = 3x + 4\). Tính độ dài AB

Để tìm tọa độ giao điểm A, B của đường parabol \(y = -\frac{x^2}{2}\) và đường thẳng \(y = 3x + 4\), chúng ta sẽ giải phương trình:

\[
-\frac{x^2}{2} = 3x + 4
\]

Bước 1: Chuyển đổi phương trình về dạng chuẩn:

\[
-\frac{x^2}{2} - 3x - 4 = 0
\]

Nhân cả phương trình với -2 để dễ tính toán hơn:

\[
x^2 + 6x + 8 = 0
\]

Bước 2: Giải phương trình bậc hai. Sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Ở đây:

- \(a = 1\)
- \(b = 6\)
- \(c = 8\)

Tính discriminant:

\[
D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4
\]

Tìm nghiệm:

\[
x = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 2}{2}
\]

Tính ra được các nghiệm:

1. \(x_1 = \frac{-4}{2} = -2\)
2. \(x_2 = \frac{-8}{2} = -4\)

Bước 3: Tìm giá trị \(y\) tương ứng với từng giá trị \(x\).

Chọn \(x_1 = -2\):

\[
y_1 = 3(-2) + 4 = -6 + 4 = -2
\]

Chọn \(x_2 = -4\):

\[
y_2 = 3(-4) + 4 = -12 + 4 = -8
\]

Vậy tọa độ giao điểm A và B là:
- A \((-2, -2)\)
- B \((-4, -8)\)

Bước 4: Tính độ dài AB.

Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm \(A(x_1, y_1)\) và \(B(x_2, y_2)\):

\[
AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]

Thay số vào:

\[
AB = \sqrt{((-4) - (-2))^2 + ((-8) - (-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}
\]

Vậy độ dài AB là \(2\sqrt{10}\).