Để chứng minh rằng \( 20^n + 16^n - 3^n - 1 \) chia hết cho \( 232 \) với mọi số nguyên \( n \), trước tiên ta phân tích số \( 232 \).

Ta có:
\[
232 = 2^3 \times 29
\]

Vì vậy, chúng ta sẽ chứng minh rằng \( 20^n + 16^n - 3^n - 1 \) chia hết cho \( 8 \) và \( 29 \).

## Bước 1: Chứng minh chia hết cho \( 8 \)

Ta xét \( 20 \), \( 16 \), \( 3 \) modulo \( 8 \):
\[
20 \equiv 4 \mod 8
\]
\[
16 \equiv 0 \mod 8
\]
\[
3 \equiv 3 \mod 8
\]

Vậy:
\[
20^n \equiv 4^n \mod 8
\]
\[
16^n \equiv 0 \mod 8
\]
\[
3^n \equiv 3^n \mod 8
\]

Vì \( 4^2 \equiv 0 \mod 8 \), nên \( 4^n \equiv 0 \mod 8 \) cho \( n \geq 2 \). Còn với \( n = 0 \) và \( n = 1 \):
- Khi \( n = 0 \):
\[
20^0 + 16^0 - 3^0 - 1 \equiv 1 + 1 - 1 - 1 \equiv 0 \mod 8
\]
- Khi \( n = 1 \):
\[
20^1 + 16^1 - 3^1 - 1 \equiv 4 + 0 - 3 - 1 \equiv 0 \mod 8
\]

Vậy, \( 20^n + 16^n - 3^n - 1 \equiv 0 \mod 8 \) cho mọi \( n \).

## Bước 2: Chứng minh chia hết cho \( 29 \)

Ta xét \( 20 \), \( 16 \), \( 3 \) modulo \( 29 \):
\[
20 \equiv 20 \mod 29
\]
\[
16 \equiv 16 \mod 29
\]
\[
3 \equiv 3 \mod 29
\]

Sử dụng định lý Fermat, theo đó \( a^{p-1} \equiv 1 \mod p \) với \( p = 29 \):
- \( 20^{28} \equiv 1 \mod 29 \)
- \( 16^{28} \equiv 1 \mod 29 \)
- \( 3^{28} \equiv 1 \mod 29 \)

Chúng ta sẽ tính \( 20^n + 16^n - 3^n - 1 \mod 29 \) cho các \( n = 0, 1, 2, \ldots, 28 \).

### Tính cho n = 0:
\[
20^0 + 16^0 - 3^0 - 1 \equiv 1 + 1 - 1 - 1 \equiv 0 \mod 29
\]

### Tính cho n = 1:
\[
20^1 + 16^1 - 3^1 - 1 \equiv 20 + 16 - 3 - 1 \equiv 32 \equiv 3 \mod 29
\]
(Chú ý: Đây không khác 0, cần kiểm tra các bội của 28)

### Tính cho n = 28 (hoặc nhiều hơn):
\[
20^{28} + 16^{28} - 3^{28} - 1 \equiv 1 + 1 - 1 - 1 \equiv 0 \mod 29
\]

Gộp lại ta thấy, với \( n = 0 \) và bội số của \( 28 \), kết quả bằng \( 0 \).

Kết luận lại rằng \( 20^n + 16^n - 3^n - 1 \equiv 0 \mod 8 \) và \( 20^n + 16^n - 3^n - 1 \equiv 0 \mod 29 \) cho mọi \( n \).

Như vậy, \( 20^n + 16^n - 3^n - 1 \) chia hết cho \( 232 \).