Cho hình thoi ABCD, F là trung điểm AD, điểm S không thuộc mặt phẳng chứa ABCD. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho \( SE = \frac{2}{3}SC \). Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho \( AB = 3AK \). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng trong bài tập này, ta cần phân tích điều kiện đã cho:

1. **Hình thoi \(ABCD\)**: Gọi các điểm \(A, B, C, D\) có tọa độ tương ứng, với \(F\) là trung điểm của \(AD\).
2. **Điểm \(S\)**: Điểm không thuộc mặt phẳng chứa hình thoi \(ABCD\).
3. **Điểm \(E\)** trên cạnh \(SC\): \(SE = \frac{2}{3}SC\).
4. **Điểm \(K\)** trên cạnh \(AB\): \(AB = 3AK\) nghĩa là \(K\) chia \(AB\) thành phần tỉ lệ \(1:2\).

### Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
Ta sẽ cần xác định các mặt phẳng:

- **Mặt phẳng \( (ABCD) \)**: Mặt phẳng chứa hình thoi \(ABCD\).
- **Mặt phẳng \( (EFK) \)**: Mặt phẳng được xác định bởi ba điểm \(E\), \(F\) và \(K\).

#### Bước 1: Xác định tọa độ điểm
- Gọi tọa độ các điểm như sau:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C(a, b, 0) \)
- \( D(0, b, 0) \)
- \( F\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+b}{2}, 0\right) = (0, \frac{b}{2}, 0) \)

- Điểm \(S\) có thể có tọa độ \( (x_S, y_S, z_S) \).

#### Bước 2: Tọa độ các điểm \(E\) và \(K\)
- **Điểm \(E\)**:
- Tọa độ \(E\) là \(E = \left(\frac{1}{3}a + \frac{2}{3}x_S, \frac{1}{3}b + \frac{2}{3}y_S, \frac{2}{3}z_S\right)\)

- **Điểm \(K\)**:
- Tọa độ \(K\) là \(K = \left(\frac{1}{3}a, 0, 0\right)\)

#### Bước 3: Công thức mặt phẳng
- Toán học mặt phẳng:
- Mặt phẳng \( (ABCD) \): có phương trình: \( z = 0 \)
- Mặt phẳng \( (EFK) \): cần tính vectơ pháp tuyến từ ba điểm trên.

#### Bước 4: Tìm giao tuyến
- Để tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng, ta cần phương trình mặt phẳng \( (EFK) \) và sau đó giải hệ để tìm giao điểm.

#### Ghi chú
- Quy trình tìm giải bằng cách lập hệ phương trình từ tọa độ.
- Tính vectơ pháp tuyến từ hai mặt phẳng và lấy tích có hướng.
- Sử dụng tính chất hình học để xác định giao tuyến.

Hy vọng phương pháp này giúp bạn giải bài toán!