Xét hàm số \(y = h(x)\) liên tục vàđồng biến trên khoảng \((-2;4)\). Giả sử bất phương trình \(h(x) + x^2 < m^2 - m - 4x\) nghịch đảo với mọi \(x \in (-2;4)\). Biết rằng \(h(-2) = 4h(4) = 4\), có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in [−10;10]\) thoả mãn bài toán trên?

Để giải bài toán này, ta cần phân tích bất phương trình được đưa ra.

Bài toán cho biết rằng hàm số \(h(x)\) liên tục và đồng biến trên khoảng \((-2; 4)\). Đồng thời, bất phương trình

\[
h(x) + x^2 < m^2 - m - 4x
\]

nghịch đảo với mọi \(x \in (-2; 4)\), tức là không có giá trị nào của \(x\) trong khoảng này thỏa mãn phương trình.

### Bước 1: Phân tích bất phương trình

Biến đổi lại bất phương trình ta có:

\[
h(x) < m^2 - m - 4x - x^2
\]

Gọi \(g(x) = m^2 - m - 4x - x^2\). Hàm \(g(x)\) là một hàm bậc hai mở xuống (vì hệ số của \(x^2\) là -1).

### Bước 2: Điều kiện nghịch đảo

Để bất phương trình luôn nghịch đảo, \(g(x)\) phải lớn hơn \(h(x)\) với mọi \(x \in (-2; 4)\).

### Bước 3: Xác định giá trị của \(h\)

Từ dữ liệu bài toán:

- \(h(-2) = 4\)
- \(h(4) = 1\) (bởi \(4h(4) = 4\))


Hàm số \(h(x)\) đồng biến nên \(h(-2) = 4\) và \(h(4) = 1\) có thể xác định giá trị của \(h(x)\) trong khoảng này. Do \(h\) liên tục và đồng biến, nên \(h(x)\) sẽ giảm từ 4 đến 1 trong khoảng \([-2, 4]\).

### Bước 4: Tìm cực trị của \(g(x)\)

Tính đỉnh của parabola \(g(x)\):

\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot -1} = 2
\]

Tại \(x = 2\):

\[
g(2) = m^2 - m - 4 \cdot 2 - 2^2 = m^2 - m - 8 - 4 = m^2 - m - 12
\]

### Bước 5: Điều kiện cần thỏa mãn

Để bất phương trình nghịch đảo, ta cần:

\[
g(x) \geq 4 \text{ với mọi } x \in [-2, 4]
\]

Do đó, ta cần:

\[
m^2 - m - 12 > 4 \implies m^2 - m - 16 > 0
\]

### Bước 6: Giải bất phương trình bậc hai

Giải phương trình:

\[
m^2 - m - 16 = 0
\]

Dùng công thức nghiệm cho phương trình bậc hai:

\[
m = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 64}}{2} = \frac{1 \pm 8.062}{2}
\]
Nghiệm sẽ là:

\[
m_1 = \frac{9.062}{2} \approx 4.531 \quad \text{và} \quad m_2 = \frac{-7.062}{2} \approx -3.531
\]

Phương trình bậc hai này có nghiệm:

\[
m < -3.531 \text{ hoặc } m > 4.531
\]

### Bước 7: Tìm giá trị nguyên của \(m\)

Trong khoảng \([-10, 10]\), các giá trị nguyên thỏa mãn là:

- Từ \(-10\) đến \(-4\) (có 7 giá trị: \(-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4\))
- Từ 5 đến 10 (có 6 giá trị: \(5, 6, 7, 8, 9, 10\))

### Kết luận

Tổng số giá trị nguyên \(m\) thỏa mãn là:

\[
7 + 6 = 13
\]

Vậy, có **13 giá trị nguyên của tham số \(m\)** thỏa mãn các điều kiện trong bài toán.