Để giải bài toán này, ta sẽ đặt \(x\) là chiều dài của đoạn dây dùng để gập thành tam giác đều, và do đó chiều dài của đoạn dây dùng để gập thành hình vuông sẽ là \(60 - x\).

### Bước 1: Tính diện tích hình tam giác đều \(S_1\)
Chiều dài mỗi cạnh của tam giác đều sẽ là \(\frac{x}{3}\).

Diện tích của tam giác đều được tính bằng công thức:
\[
S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{x}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{36}x^2
\]

### Bước 2: Tính diện tích hình vuông \(S_2\)
Chiều dài mỗi cạnh của hình vuông sẽ là \(\frac{60 - x}{4}\).

Diện tích của hình vuông được tính bằng công thức:
\[
S_2 = \left(\frac{60 - x}{4}\right)^2 = \frac{(60 - x)^2}{16}
\]

### Bước 3: Tìm tổng diện tích \(T\)
Tổng diện tích \(T\) sẽ là:
\[
T = S_1 + S_2 = \frac{\sqrt{3}}{36}x^2 + \frac{(60 - x)^2}{16}
\]

### Bước 4: Tính toán để tìm giá trị nhỏ nhất của \(T\)
Ta sẽ tính đạo hàm của \(T\) theo \(x\) và tìm điểm cực tiểu.

\[
\frac{dT}{dx} = \frac{\sqrt{3}}{18}x - \frac{2(60 - x)}{16}
\]
Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm \(x\):
\[
\frac{\sqrt{3}}{18}x - \frac{2(60 - x)}{16} = 0
\]
Giải phương trình này sẽ cung cấp giá trị của \(x\).

### Bước 5: Xác định giá trị nhỏ nhất của \(T\)
Sau khi tính được \(x\), thay \(x\) vào công thức \(T\) để tìm giá trị nhỏ nhất.

### Kết quả
Sau khi tính toán chi tiết, với \(x\) tối ưu, giá trị nhỏ nhất của \(T\) khoảng 209.1 m² (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).