Cho ∆ABC có BA = BC, gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh tam giác BAM = tam giác BCM

Chúng ta sẽ tiến hành chứng minh các yêu cầu trong bài toán từ phần (a) đến (c).

**a)** Chứng minh \( \triangle BAM \cong \triangle BCM \)

Để chứng minh hai tam giác này bằng nhau, ta sẽ sử dụng tiêu chí đồng dạng tam giác (SSS) hoặc tiêu chí cạnh-góc-cạnh (SAS).

1. **Góc chung**: Hai tam giác \( \triangle BAM \) và \( \triangle BCM \) có góc \( \angle BAM = \angle BCM \) (góc này nằm trong tam giác cân, giữa hai cạnh mà chúng ta đang làm việc là giống nhau).

2. **Cạnh chung**: Cạnh \( AM = CM \) vì M là trung điểm của AC.

3. **Cạnh bằng**: Ta có \( BA = BC \) (theo giả thiết).

Từ các yếu tố trên, theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (SAS), ta có \( \triangle BAM \cong \triangle BCM \).

---

**b)** Chứng minh \( \triangle AEMB \cong \triangle AFMB \)

- Tương tự như phần (a), chúng ta cần chứng minh các cặp cạnh và góc của hai tam giác này.

1. **Cạnh chung**: \( BM \) là cạnh chung của hai tam giác.

2. **Cạnh đồng dạng**: Theo giả thiết, \( AE = AF \) (vì điểm E thuộc trên AB và F thuộc trên BC, mà AB = BC).

3. **Góc bằng**: \( \angle ABE = \angle ABF \) (góc giữa AB và tiếp tuyến tại M, do tam giác BAM và BCM là hai tam giác bằng nhau, góc AMB là góc chung).

Từ đó, theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (SAS), ta có \( \triangle AEMB \cong \triangle AFMB \).

---

**c)** Chứng minh \( BM \parallel EF \)

Bởi vì từ phần b đã chứng minh \( \triangle AEMB \cong \triangle AFMB \), chúng ta có thể sử dụng tính chất của các góc đồng vị hoặc các góc so le trong hai tam giác bằng nhau này.

- Cụ thể:
- Từ \( \triangle AEMB \cong \triangle AFMB \), góc \( \angle AEB = \angle AFB \), tức là các góc này đồng dạng từ các cạnh tương ứng.
- Do đó, theo tính chất của các góc đồng vị, khi hai tam giác này bằng nhau, ta có thể suy ra rằng \( BM \parallel EF \).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( BM \parallel EF \).