Để giải phương trình \( x^3 + y^3 - x^2y - xy^2 = 5 \), chúng ta có thể viết lại phương trình theo một cách khác. Chúng ta nhận thấy rằng:

\[
x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)
\]
và
\[
-x^2y - xy^2 = -xy(x+y).
\]

Do đó, ta có:

\[
x^3 + y^3 - x^2y - xy^2 = (x+y)(x^2 - xy + y^2 - xy) = (x+y)(x^2 - 2xy + y^2) = (x+y)((x-y)^2).
\]

Giờ ta cần giải phương trình:

\[
(x+y)((x-y)^2) = 5.
\]

Ta sẽ phân tích các cách phân tích của \( 5 \):

1. \( (x+y) = 1 \) và \( (x-y)^2 = 5 \)
2. \( (x+y) = 5 \) và \( (x-y)^2 = 1 \)
3. \( (x+y) = -1 \) và \( (x-y)^2 = -5 \) (không hợp lệ vì bình phương không âm)
4. \( (x+y) = -5 \) và \( (x-y)^2 = -1 \) (cũng không hợp lệ)

**Trường hợp 1:**

- \( x+y = 1 \)
- \( (x-y)^2 = 5 \) \(\Rightarrow |x-y| = \sqrt{5}\) (không có giá trị nguyên)

**Trường hợp 2:**

- \( x+y = 5 \)
- \( (x-y)^2 = 1 \) \(\Rightarrow |x-y| = 1\)

Từ \( x+y = 5 \) và \( x-y = 1 \) hoặc \( x-y = -1 \):

a. \( x-y = 1 \)

Từ đó, ta có hệ:

\[
x+y = 5 \\
x-y = 1
\]

Cộng 2 phương trình:

\[
2x = 6 \Rightarrow x = 3
\]
Thay vào phương trình thứ nhất:

\[
3 + y = 5 \Rightarrow y = 2.
\]

b. \( x-y = -1 \)

Lần này, hệ phương trình trở thành:

\[
x+y = 5 \\
x-y = -1
\]

Cộng 2 phương trình:

\[
2x = 4 \Rightarrow x = 2
\]
Thay vào phương trình thứ nhất:

\[
2 + y = 5 \Rightarrow y = 3.
\]

Vậy các giá trị nguyên \( (x, y) \) thoả mãn phương trình là:

1. \( (3, 2) \)
2. \( (2, 3) \)

Như vậy, các cặp \((x, y)\) nguyên là:

\[
(x, y) = (3, 2) \quad \text{hoặc} \quad (x, y) = (2, 3).
\]