### a) Giải phương trình với \( m = 5 \)

Khi \( m = 5 \), phương trình trở thành:
\[
x^2 + 2(5 + 1)x + 5^2 = 0
\]
\[
x^2 + 12x + 25 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Trong trường hợp này, \( a = 1, b = 12, c = 25 \).

Tính delta (\( \Delta \)):
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 144 - 100 = 44
\]
Vì \( \Delta > 0 \), phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Tính nghiệm:
\[
x = \frac{-12 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{11}}{2} = -6 \pm \sqrt{11}
\]
Vậy nghiệm của phương trình là:
\[
x_1 = -6 + \sqrt{11}, \quad x_2 = -6 - \sqrt{11}
\]

### b) Tìm \( m \) để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng -2

Giả sử một nghiệm của phương trình là \( x_1 = -2 \). Thay \( x = -2 \) vào phương trình:
\[
(-2)^2 + 2(m + 1)(-2) + m^2 = 0
\]
\[
4 - 4(m + 1) + m^2 = 0
\]
\[
4 - 4m - 4 + m^2 = 0 \implies m^2 - 4m = 0 \implies m(m - 4) = 0
\]

Vậy \( m = 0 \) hoặc \( m = 4 \).

**Kiểm tra điều kiện có 2 nghiệm phân biệt:**

1. **Với \( m = 0 \):**
Phương trình trở thành:
\[
x^2 + 2(0 + 1)x + 0^2 = 0 \implies x^2 + 2x = 0 \implies x(x + 2) = 0
\]
Nghiệm: \( x = 0 \) và \( x = -2 \) (không có 2 nghiệm phân biệt).

2. **Với \( m = 4 \):**
Phương trình trở thành:
\[
x^2 + 2(4 + 1)x + 4^2 = 0 \implies x^2 + 10x + 16 = 0
\]
Tính delta (\( \Delta \)):
\[
\Delta = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36
\]
Vì \( \Delta > 0 \), phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Kết luận:
- **Giải phương trình với \( m = 5 \)** cho nghiệm \( x_1 = -6 + \sqrt{11}, x_2 = -6 - \sqrt{11} \).
- **Giá trị của \( m \)** để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng -2 là \( m = 4 \).