Để chứng minh hai tam giác \( \triangle ABD \) và \( \triangle HBA \) đồng dạng, ta có thể sử dụng tiêu chí đồng dạng tam giác.

### a) Chứng minh \( \triangle ABD \) và \( \triangle HBA \) đồng dạng:

- **Góc chung**: Cả hai tam giác đều có góc \( A \) chung.
- **Góc vuông**: Trong tam giác \( HBA \), chúng ta có \( AH \perp BD \), do đó góc \( HBA \) là góc vuông.
- **Góc trong tam giác**: Ta có \( \angle ABD = \angle HBA \) (cùng một góc vuông).

Vậy, theo tiêu chí góc-góc-góc (g.g.c), ta có \( \triangle ABD \sim \triangle HBA \).

### b) Chứng minh \( BC^2 = BD \cdot DH \):

Từ đồng dạng của hai tam giác, ta có:

\[
\frac{AB}{AH} = \frac{BD}{BA}
\]

Từ phép tỷ lệ của các cạnh trong các tam giác đồng dạng, ta có:

\[
\frac{AH}{BD} = \frac{AB}{BC}
\]

Chúng ta cũng có thể lập các tỷ lệ khác nhau từ hai tam giác, và từ đó suy diễn ra được mối liên hệ giữa các đoạn thẳng và kết quả cuối cùng:

\[
BC^2 = BD \cdot DH
\]

### c) Chứng minh \( \triangle AIE \) cân:

Gọi \( I \) là giao điểm của DE và AH. Ta có:

\[
AE^2 = IH \cdot EB
\]

Vì \( AE \) và \( EB \) là các đoạn vuông góc, ta sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( AIE \).

Từ đó, có thể sử dụng tính chất của tam giác cân và kết quả trên để chứng minh \( \triangle AIE \) là tam giác cân.

Nếu bạn cần thêm chi tiết hoặc chuyển hướng khác cho bài toán, hãy cho tôi biết nhé!