Để rút gọn biểu thức \( B \) và thực hiện các yêu cầu trong bài, ta làm như sau:

### a) Rút gọn B
Biểu thức \( B \) được cho như sau:
\[
B = \frac{2}{\sqrt{x} - 1} + \frac{2}{\sqrt{x} - 1} - \frac{5 - \sqrt{x}}{x - 1}
\]

Ta để ý cả hai phần đầu tiên có chung mẫu thức, vì vậy ta có thể gộp chúng lại:
\[
B = \frac{4}{\sqrt{x} - 1} - \frac{5 - \sqrt{x}}{x - 1}
\]

Chúng ta sẽ tìm cách đồng nhất mẫu cho toàn bộ biểu thức.

- Đặt \( y = \sqrt{x} \), khi đó \( x = y^2 \) và \( x-1 = y^2 - 1 = (y-1)(y+1) \).

Biểu thức \( B \) trở thành:
\[
B = \frac{4}{y - 1} - \frac{5 - y}{(y-1)(y+1)}
\]

Rút gọn biểu thức thứ hai về mẫu chung:
\[
B = \frac{4(y + 1)}{(y - 1)(y + 1)} - \frac{5 - y}{(y - 1)(y + 1)}
\]
\[
= \frac{4y + 4 - (5 - y)}{(y-1)(y+1)} = \frac{4y + 4 - 5 + y}{(y-1)(y+1)} = \frac{5y - 1}{(y-1)(y+1)}
\]
Cuối cùng, thay lại \( y = \sqrt{x} \):
\[
B = \frac{5\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}
\]

### b) Tính P tại x = 4
Thay \( x = 4 \) vào biểu thức \( B \):
\[
B = \frac{5\sqrt{4} - 1}{(\sqrt{4} - 1)(\sqrt{4} + 1)} = \frac{5 \cdot 2 - 1}{(2 - 1)(2 + 1)} = \frac{10 - 1}{1 \cdot 3} = \frac{9}{3} = 3
\]

### c) Tìm giá trị của x để B có giá trị là số nguyên
Ta sẽ tìm giá trị \( B \) với điều kiện \( B = n \) (với \( n \in \mathbb{Z} \)):
\[
\frac{5\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = n
\]
Sắp xếp lại, ta có:
\[
5\sqrt{x} - 1 = n(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)
\]
Đặt \( y = \sqrt{x} \):
\[
5y - 1 = n(y^2 - 1) = ny^2 - n
\]
\[
ny^2 - 5y - n + 1 = 0
\]
Để phương trình bậc hai này có nghiệm thực, ta cần:
\[
\Delta = (5)^2 - 4n(-n + 1) = 25 + 4n^2 - 4n \geq 0
\]
Giải bất phương trình này để tìm giá trị của \( n \) và từ đó xác định \( x \).

Từ đây, bạn có thể tính giá trị tương ứng của \( n \) để \( B \) là số nguyên.

Hy vọng hướng dẫn này giúp bạn hoàn thành bài tập!