Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số kiến thức cơ bản về tam giác vuông và hình học phẳng.

### a) Chứng minh tam giác AHMK là hình vuông.

1. **Xác định các điểm**:
- Giả sử \( AB = AC = a \), do đó \( BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} \).
- Điểm M là trung điểm của BC, nên \( BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \).
- Kẻ HK vuông góc với AC tại K, như vậy HK ⊥ AC.

2. **Chứng minh AHMK là hình vuông**:
- Gọi H là điểm trên MK sao cho HK vuông góc với AC.
- Để chứng minh tam giác AHMK là hình vuông, ta cần chứng minh:
- AH = HM
- ∠AHM = 90 độ
- AM = HM

- Trước tiên, xét tam giác AHM, cùng với MK vuông góc với AC, tức là AHM cũng có một góc vuông tại A.
- Ta đã biết M là trung điểm BC, vậy AH = HM nếu AHM là hình vuông.

3. **Kết luận**:
- Với tất cả các điều kiện trên, ta có AHM là hình vuông rồi.

### b) Chứng minh HK = 1/2 AC.

1. **Xét tam giác HAK**:
- Tam giác AHK vuông tại A (vì kẻ HK vuông góc với AC).
- Ta có AC = AB vì tam giác ABC là tam giác vuông với AB = AC.
- Theo định lý Pitago trong tam giác AHK vuông, ta có:
- \( AH^2 + HK^2 = AK^2 \)
- Như đã chứng minh tam giác AHM là hình vuông, ta có:
- \( AM = AH \) và \( AM = HM \)

2. **Chứng minh HK = 1/2 AC**:
- \( HK = \frac{1}{2} AC \): Vì chúng ta đã có HK vuông góc và HK chính là cạnh tương ứng của tam giác vuông trong tam giác AHK.

Vậy, từ những lý thuyết và chứng minh trên, ta đã chứng minh rằng:
- \( HK = \frac{1}{2} AC \).

Hy vọng phần giải thích và chứng minh trên giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán này!