Chứng minh rằng góc MEN bằng 90^o

Để chứng minh góc \( MEN \) bằng \( 90^\circ \) trong tam giác nhọn \( ABC \) với \( AB < AC \), ta thực hiện các bước sau đây:

1. **Định nghĩa các điểm:**
- Gọi \( A, B, C \) là các đỉnh của tam giác.
- Gọi \( D, E, F \) lần lượt là chân đường cao hạ từ \( A, B, C \) xuống các cạnh \( BC, AC, AB \).
- Gọi \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), \( H = D \cap E \cap F \).
- Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- Gọi \( N \) là trung điểm của \( AH \).

2. **Sử dụng tính chất trực tâm:**
- Trong tam giác \( ABC \), các đường cao \( AD, BE, CF \) cắt nhau tại trực tâm \( H \).
- Ta cần chứng minh rằng \( MN \) vuông góc với \( AH \) (tức là \( MN \perp AH \)).

3. **Chú ý về các tam giác:**
- Tam giác \( AMH \) có \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( AM = MH \).
- Tam giác \( ANH \) cũng có \( N \) là trung điểm của \( AH \), nên \( AN = NH \).

4. **Sử dụng góc vuông trong tam giác:**
- Từ tính chất trực tâm, ta biết rằng góc \( AHB \) và góc \( AHC \) là các góc vuông.
- Do đó, \( DH \perp AB \) và \( EH \perp AC \).

5. **Gọi các tên góc:**
- Khi đó, góc \( MEN \) sẽ được hình thành bởi đoạn thẳng \( MN \) và đoạn thẳng \( AH \).

6. **Chứng minh \( MN \) vuông góc với \( AH \):**
- Trong tam giác \( AMH \) và tam giác \( ANH \), với các cạnh tương ứng, do \( AB < AC \) nên \( M \) dị dạng với \( N \) và các vectơ ra từ \( M \) và \( N \) sẽ xô lệch bởi trực tâm \( H \).
- Từ đó, ta có:
\[
MH \perp AH \quad \text{và} \quad NH \perp AH
\]
- Điều này có nghĩa rằng giao điểm giữa hướng đi từ \( M \) đến \( N \) vuông góc với đường thẳng \( AH \).
- Vì thế, góc \( MEN = 90^\circ \).

Kết luận: Ta đã chứng minh được rằng \( \angle MEN = 90^\circ \) trong tam giác nhọn \( ABC \) với \( AB < AC \).