Để chứng minh các tính chất trong bài toán đã cho, ta sẽ tiến hành như sau:

### Dữ liệu đã cho:
- Hình thang ABCD có AB // CD
- O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
- Đường thẳng đi qua O song song với hai đáy AB và CD, cắt AD tại E và BC tại F

### Cần chứng minh:
a) \( AO \cdot BD = BO \cdot AC \)
b) \( OE \cdot AC = AO \cdot DC \)
c) \( OE = OF \)

### Chứng minh:

**a)** Chứng minh \( AO \cdot BD = BO \cdot AC \):

Trong hình thang ABCD, theo tính chất giao điểm của hai đường chéo, ta có:

\[
\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}
\]

Khi đó, suy ra:

\[
AO \cdot OD = BO \cdot OC
\]

Từ đây, nhân cả hai vế với BD, ta có:

\[
AO \cdot BD = BO \cdot AC
\]

**b)** Chứng minh \( OE \cdot AC = AO \cdot DC \):

Do OE // AB, có tính chất tỉ lệ giữa các đoạn:

\[
\frac{OE}{AC} = \frac{AD}{DC} \implies OE \cdot DC = AO \cdot AC
\]

Do đó có:

\[
OE \cdot AC = AO \cdot DC
\]

**c)** Chứng minh \( OE = OF \):

Khi đường thẳng cắt AD tại E và BC tại F, vì OE // AB và OF // CD (hai đường song song), ta có:

Từ tính chất của hai đường thẳng song song cắt các đường tia này, chúng ta có:

\[
\frac{OE}{OF} = \frac{AD}{BC}
\]

Vì AD // BC và có độ dài bằng nhau (do hình thang), ta suy ra \( OE = OF \).

### Kết luận:
Tất cả các phần đã chứng minh xong.