Cho tứ giác ABCD. Kéo dài các cạnh của tứ giác theo quy luật. Chứng minh rằng diện tích hình tứ giác mới EFGH bằng 5 lần diện tích tứ giác ABCD

Để chứng minh rằng diện tích hình tứ giác mới EFGH bằng 5 lần diện tích tứ giác ABCD, ta sẽ sử dụng các định lý và hình học cơ bản.

Giả sử tứ giác ABCD có diện tích là S_ABCD. Các điểm E, F, G, H được xác định theo quy luật kéo dài các cạnh:

1. Kéo dài AD một đoạn AE = AD, tạo điểm E.
2. Kéo dài AB một đoạn BF = AB, tạo điểm F.
3. Kéo dài BC một đoạn CG = BC, tạo điểm G.
4. Kéo dài CD một đoạn DH = CD, tạo điểm H.

### Bước 1: Xác định vị trí của các điểm
- Điểm E sẽ nằm ở vị trí cao hơn điểm A một đoạn bằng độ dài của AD.
- Điểm F sẽ nằm ở bên phải điểm B một đoạn bằng độ dài của AB.
- Điểm G sẽ nằm ở bên phải điểm C một đoạn bằng độ dài của BC.
- Điểm H sẽ nằm ở vị trí cao hơn điểm D một đoạn bằng độ dài của CD.

### Bước 2: Xác định diện tích tứ giác EFGH
Diện tích của tứ giác EFGH có thể được tính bằng diện tích của các tam giác tạo thành từ các đỉnh của tứ giác ABCD và các điểm kéo dài.

1. Diện tích của tứ giác ABCD.
2. Kéo dài mỗi đoạn của tứ giác sẽ tạo thêm 4 tam giác: AEF, BFG, CGH, DHE.
3. Mỗi tam giác này sẽ có diện tích bằng một nửa diện tích của các tam giác tương ứng trong tứ giác ABCD mà nó mở rộng ra ngoài.

### Bước 3: Tính toán diện tích tứ giác EFGH
- Diện tích của 4 tam giác mở rộng sẽ bằng 4 lần diện tích các tam giác trong tứ giác ABCD, tương tự như các định lý về tỉ lệ diện tích trong hình học.
- Mỗi đoạn kéo dài làm diện tích tứ giác ABCD tăng lên một khoảng tương ứng.

### Bước 4: Kết luận
Vì EFGH là hình tứ giác được hình thành từ ABCD cộng với các tam giác mở rộng, tổng diện tích tứ giác EFGH sẽ bằng diện tích của ABCD cộng với 4 lần diện tích của ABCD:

\[
S_{EFGH} = S_{ABCD} + 4 \times S_{ABCD} = 5 \times S_{ABCD}
\]

Vì vậy, ta có:

\[
S_{EFGH} = 5S_{ABCD}
\]

Điều này chứng minh rằng diện tích tứ giác mới EFGH bằng 5 lần diện tích tứ giác ABCD, tức là:

\[
S_{EFGH} = 5S_{ABCD}
\]

Kết quả đạt được, như yêu cầu.