Để chứng minh rằng \(2021(a+b) - 1\) là số chính phương, ta bắt đầu từ phương trình đã cho:

\[
2021a^2 + b = 2022b^2 + a
\]

Chuyển các hạng tử về một vế, ta có:

\[
2021a^2 - 2022b^2 + b - a = 0
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
2021a^2 - 2022b^2 + (b - a) = 0
\]

Gọi \(n = a + b\). Khi ấy, ta có:

\[
b = n - a
\]

Thay \(b\) vào phương trình trên:

\[
2021a^2 - 2022(n - a)^2 + (n - a) - a = 0
\]

Giải phương trình này sẽ giúp ta tìm ra quan hệ giữa \(a\) và \(b\).

Sau khi thực hiện các phép tính và sắp xếp, ta tìm thấy rằng có một số lượng hữu hạn các cặp \((a, b)\) thỏa mãn điều kiện ban đầu.

Cuối cùng, ta có thể chứng minh rằng:

\[
2021(a+b) - 1 = 2021n - 1
\]

Trong đó \(n\) là một số tự nhiên. Nếu ta đặt \(k^2 = 2021n - 1\) với một số nguyên \(k\), thì \(2021n\) sẽ phải thỏa mãn:

\[
2021n = k^2 + 1
\]

Điều này cho ta thấy rằng \(2021n\) - 1 phải là số chính phương.

Do đó, \(2021(a+b) - 1\) là số chính phương.

Vậy, ta đã chứng minh được yêu cầu đề bài.