Để xác định xem có tồn tại số tự nhiên \( n \) nào mà \( n^2 + n + 2 \) chia hết cho \( 5 \) hay không, ta sẽ xét \( n^2 + n + 2 \) theo từng trường hợp \( n \mod 5 \).

Các giá trị có thể có của \( n \mod 5 \) là \( 0, 1, 2, 3, 4 \). Ta sẽ tính giá trị của \( n^2 + n + 2 \) cho từng trường hợp này:

1. **Khi \( n \equiv 0 \mod 5 \)**:
\[
n^2 + n + 2 \equiv 0^2 + 0 + 2 \equiv 2 \mod 5
\]

2. **Khi \( n \equiv 1 \mod 5 \)**:
\[
n^2 + n + 2 \equiv 1^2 + 1 + 2 \equiv 1 + 1 + 2 \equiv 4 \mod 5
\]

3. **Khi \( n \equiv 2 \mod 5 \)**:
\[
n^2 + n + 2 \equiv 2^2 + 2 + 2 \equiv 4 + 2 + 2 \equiv 8 \equiv 3 \mod 5
\]

4. **Khi \( n \equiv 3 \mod 5 \)**:
\[
n^2 + n + 2 \equiv 3^2 + 3 + 2 \equiv 9 + 3 + 2 \equiv 14 \equiv 4 \mod 5
\]

5. **Khi \( n \equiv 4 \mod 5 \)**:
\[
n^2 + n + 2 \equiv 4^2 + 4 + 2 \equiv 16 + 4 + 2 \equiv 22 \equiv 2 \mod 5
\]

Tổng hợp lại, ta có:
- \( n \equiv 0 \mod 5 \) thì \( n^2+n+2 \equiv 2 \mod 5 \)
- \( n \equiv 1 \mod 5 \) thì \( n^2+n+2 \equiv 4 \mod 5 \)
- \( n \equiv 2 \mod 5 \) thì \( n^2+n+2 \equiv 3 \mod 5 \)
- \( n \equiv 3 \mod 5 \) thì \( n^2+n+2 \equiv 4 \mod 5 \)
- \( n \equiv 4 \mod 5 \) thì \( n^2+n+2 \equiv 2 \mod 5 \)

Như vậy, \( n^2+n+2 \) có thể nhận các giá trị là \( 2, 3, 4 \) khi chia cho \( 5 \) nhưng không bao giờ nhận giá trị \( 0 \) (chia hết cho \( 5 \)).

Do đó, kết luận là không tồn tại số tự nhiên \( n \) nào mà \( n^2+n+2 \) chia hết cho \( 5 \).