Để rút gọn biểu thức \( P \) và tính giá trị tại \( x = 2025 - \frac{2}{2024} \), ta bắt đầu với biểu thức:

\[
P = \frac{\sqrt{x+2025} - \sqrt{x-2025}}{x + 2\sqrt{x} + 1} \cdot \left(1 + \frac{x+1}{2\sqrt{x}}\right)
\]

**Bước 1: Tính giá trị \( P \) tại \( x = 2025 - \frac{2}{2024} \)**

1. Thay \( x = 2025 - \frac{2}{2024} \) vào biểu thức \( P \).
2. Tính các thành phần trong biểu thức.

Giả sử \( y = 2025 - \frac{2}{2024} \):

\[
\sqrt{y + 2025} = \sqrt{2025 - \frac{2}{2024} + 2025}
\]
\[
\sqrt{y - 2025} = \sqrt{2025 - \frac{2}{2024} - 2025}
\]

**Bước 2: Tính từng phần**

- Tính \( \sqrt{y + 2025} \) và \( \sqrt{y - 2025} \).
- Tính mẫu số \( x + 2\sqrt{x} + 1 \).
- Sau đó, tính giá trị biểu thức \( P \).

**Bước 3: Phương trình thứ hai**

Cho phương trình:

\[
\frac{a+3}{x+1} - \frac{5-a}{x-2} = \frac{ax+3}{x^2 - x - 2}
\]

- Đưa về phương trình bậc nhất và giải cho \( a \).
- Tìm giá trị của \( a \) sao cho phương trình có nghiệm.

**Bước 4: Giải phương trình bậc hai**

Phương trình:

\[
2x^2 - 4x - 9 + \sqrt{5x + 6} + \sqrt{7x + 11} = 0
\]

Giải từng bước để tìm \( x \) thỏa mãn phương trình.

Tóm lại:

1. Tính giá trị cụ thể của \( P \).
2. Giải các phương trình để tìm \( a \) và \( x \).