Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có bán kính R

Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các công thức liên quan đến tam giác đều và đường tròn ngoại tiếp.

### a) Tính cạnh của tam giác ABC theo R

Tam giác đều có bán kính đường tròn ngoại tiếp \( R \) và cạnh của tam giác đều \( a \) được liên hệ bởi công thức:

\[
R = \frac{a}{\sqrt{3}}
\]

Từ công thức này, ta có thể tìm \( a \) theo \( R \):

\[
a = R \cdot \sqrt{3}
\]

Thay thế giá trị của \( R \):

\[
a = \left(\frac{4a\sqrt{3}}{3}\right) \sqrt{3} = \frac{4a \cdot 3}{3} = 4a
\]

Rút gọn, ta sẽ có:

\[
a = 4R
\]

### b) Tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC theo R

Bán kính đường tròn nội tiếp \( r \) trong tam giác đều cũng có liên hệ với cạnh \( a \) như sau:

\[
r = \frac{a\sqrt{3}}{6}
\]

Thay \( a = 4R \) vào công thức tính \( r \):

\[
r = \frac{(4R)\sqrt{3}}{6} = \frac{4R\sqrt{3}}{6} = \frac{2R\sqrt{3}}{3}
\]

Thay giá trị của \( R \):

\[
r = \frac{2 \cdot \frac{4a\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{8a}{9}
\]

### Kết luận

- Cạnh của tam giác ABC theo \( R \): \( a = 4R \)
- Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC theo \( R \): \( r = \frac{2R\sqrt{3}}{3} \)