Giải và biện luận phương trình sau theo m: \( 3x^2 - 2x + m = 0 \)

Để giải và biện luận phương trình \(3x^2 - 2x + m = 0\) theo \(m\), ta thực hiện các bước sau:

### 1. Thông tin về phương trình

Phương trình bậc 2 có dạng tổng quát là \(ax^2 + bx + c = 0\) với:
- \(a = 3\)
- \(b = -2\)
- \(c = m\)

### 2. Tính biệt thức Delta

Biệt thức của phương trình \(D\) được tính bằng công thức:
\[
D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot m = 4 - 12m
\]

### 3. Biện luận theo \(D\)

- **Trường hợp 1:** \(D > 0\)
- Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
- Điều kiện: \(4 - 12m > 0 \Rightarrow m < \frac{1}{3}\)

- **Trường hợp 2:** \(D = 0\)
- Phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
- Điều kiện: \(4 - 12m = 0 \Rightarrow m = \frac{1}{3}\)

- **Trường hợp 3:** \(D < 0\)
- Phương trình vô nghiệm.
- Điều kiện: \(4 - 12m < 0 \Rightarrow m > \frac{1}{3}\)

### 4. Kết luận

- Khi \(m < \frac{1}{3}\): Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
- Khi \(m = \frac{1}{3}\): Phương trình có một nghiệm duy nhất.
- Khi \(m > \frac{1}{3}\): Phương trình vô nghiệm.

Như vậy, ta đã giải và biện luận phương trình \(3x^2 - 2x + m = 0\) theo \(m\).