Dưới đây là cách giải cho từng câu trong đề bài:

### Câu 1: Tính hợp lý (nếu có thể)

a) \(-19 + 23 = 4\) (hợp lý)

b) \(84 \cdot 4 + 39 \cdot 3^{17}\)
- \(39 \cdot 3^{17}\) là một số rất lớn, nên không hợp lý để tính mà không dùng máy tính.

c) \(35.82 + 18.35 = 54.17\) (hợp lý)

d) \(128 - [68 + 8 \cdot (37 - 35)]^2 \div 4\)
- Tính bôm vế: \(68 + 8 \cdot 2 = 68 + 16 = 84\)
- \(84^2 = 7056\)
- Tính: \(128 - 7056 \div 4 = 128 - 1764 = -1636\) (hợp lý)

### Câu 2: Tìm x biết

a) \(x - 16 = -25\)
=> \(x = -25 + 16 = -9\)

b) \(106 - (3x + 5) = 71\)
=> \(3x + 5 = 106 - 71\)
=> \(3x + 5 = 35\)
=> \(3x = 30\)
=> \(x = 10\)

### Câu 3:

Giả sử số HS của trường A là \(n\). Theo đề bài này, khi xếp 15, 18 HS, thì nếu \(n\) là số nguyên trong khoảng 200-300, chúng ta có:

- \(n \equiv 0 \,(\text{mod}\, 15)\) và \(n \equiv 0 \,(\text{mod}\, 18)\)

Tìm bội số chung nhỏ nhất của 15 và 18, \(bch = 90\). Số HS sẽ theo công thức:

\(n = 90k\) với \(k\) là số nguyên. Phạm vi sẽ là \(200 < n < 300\).

=> Giải bất phương trình:
\(200 < 90k < 300\)
=> \(2.22 < k < 3.33\)

Vậy \(k\) nhận giá trị là \(3\) (vì k phải là số nguyên).

=> Số HS \(n = 90 \cdot 3 = 270\).

### Câu 4:

Cho \(A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{2021}\). Đây là một cấp số nhân với:

- \(a_1 = 1\),
- \(r = 2\),
- Số hạng cuối = \(2^{2021}\)

Công thức tổng của cấp số nhân:

\[
S_n = a_1 \frac{(r^n - 1)}{r - 1}
\]

Với \(n = 2022\) (từ \(a_1\) đến \(2^{2021}\)):
\[
A = 1 \frac{(2^{2022} - 1)}{2 - 1} = 2^{2022} - 1
\]

Chứng minh rằng \(A + 1\) là một số chính phương:

\[
A + 1 = 2^{2022} - 1 + 1 = 2^{2022}
\]

Vì \(2^{2022}\) là một số chính phương (bằng \( (2^{1011})^2\)).

Do đó, \(A + 1\) là một số chính phương.