Để tìm các cặp số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình \( (2x + 1)(3y - 2) = 12 \), ta có thể phân tích các cách để phân phối số 12 thành tích của hai yếu tố.

Các yếu tố nguyên tố của 12 là:
- \( 1 \times 12 \)
- \( 2 \times 6 \)
- \( 3 \times 4 \)
- \( (-1) \times (-12) \)
- \( (-2) \times (-6) \)
- \( (-3) \times (-4) \)

Ta sẽ kiểm tra từng cặp để tìm ra các giá trị tương ứng của \( x \) và \( y \):

1. **Cặp \( (1, 12) \)**:
\[
2x + 1 = 1 \implies 2x = 0 \implies x = 0
\]
\[
3y - 2 = 12 \implies 3y = 14 \implies y = \frac{14}{3} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

2. **Cặp \( (2, 6) \)**:
\[
2x + 1 = 2 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]
\[
3y - 2 = 6 \implies 3y = 8 \implies y = \frac{8}{3} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

3. **Cặp \( (3, 4) \)**:
\[
2x + 1 = 3 \implies 2x = 2 \implies x = 1
\]
\[
3y - 2 = 4 \implies 3y = 6 \implies y = 2
\]

**Giải pháp \( (1, 2) \)**.

4. **Cặp \( (-1, -12) \)**:
\[
2x + 1 = -1 \implies 2x = -2 \implies x = -1
\]
\[
3y - 2 = -12 \implies 3y = -10 \implies y = -\frac{10}{3} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

5. **Cặp \( (-2, -6) \)**:
\[
2x + 1 = -2 \implies 2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]
\[
3y - 2 = -6 \implies 3y = -4 \implies y = -\frac{4}{3} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

6. **Cặp \( (-3, -4) \)**:
\[
2x + 1 = -3 \implies 2x = -4 \implies x = -2
\]
\[
3y - 2 = -4 \implies 3y = -2 \implies y = -\frac{2}{3} \quad (\text{không phải số nguyên})
\]

Sau khi kiểm tra tất cả các cặp, ta có cặp duy nhất thỏa mãn là \( (1, 2) \).

Vậy cặp số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn là \( (1, 2) \).