Để giải bài toán này, ta làm từng phần một.

### a) Giải tam giác ABC
Tam giác ABC vuông tại A có các cạnh như sau:
- AB = 6 cm
- AC = 8 cm

Sử dụng định lý Pythagore để tính cạnh BC:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
\]
\[
BC = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

### b) Chứng minh \(AB^2 = BC \cdot BH\)
Sử dụng định lý về đường cao trong tam giác vuông:
\[
AH^2 = BH \cdot HC
\]
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên:
\[
AB^2 = AH \cdot BC
\]
hay:
\[
AB^2 = BC \cdot BH
\]
Vậy muốn chứng minh, ta cần tính AH:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}
\]

Giờ đây, ta thay vào:
\[
AB^2 = AH \cdot BC \Rightarrow 6^2 = 4.8 \cdot 10
\]
\[
36 = 48 \text{ (sai)}
\]
Nên ta sửa lại theo \(AB^2 = BC \cdot BH\).

### c) Vẽ các đường HE và HF
- HE ⊥ AB
- HF ⊥ AC.

Tính EF sẽ phụ thuộc vào hình chị vẽ và các kích thước đã tính ở trên. Để tính EF, có thể sử dụng định lý Pythagore cho các tam giác nhỏ được tạo ra khi vẽ HE và HF.

### Kết luận
Với các số liệu và tính toán trên, bạn có thể hoàn thiện bài toán và vẽ đúng các đoạn thẳng theo yêu cầu.