Để chứng minh rằng \( -1 \leq y \leq 1 \) với mọi giá trị của \( x \), ta bắt đầu từ biểu thức của \( y \):

\[
y = \frac{x^2 \cos a - 2x + \cos a}{x^2 - 2x \cos a + 1}
\]

### Bước 1: Phân tích mẫu

Xét mẫu số:

\[
x^2 - 2x \cos a + 1 = (x - \cos a)^2 + (1 - \cos^2 a) = (x - \cos a)^2 + \sin^2 a \geq 0
\]

Ta thấy mẫu luôn dương cho mọi \( x \) vì là tổng của hai bình phương không âm.

### Bước 2: Cận trên và cận dưới của \( y \)

Để chứng minh \( y \) nằm trong đoạn \( [-1, 1] \), ta sẽ kiểm tra hai trường hợp \( y = 1 \) và \( y = -1 \).

### Cận trên \( y \leq 1 \)

Giả sử \( y \leq 1 \):

\[
\frac{x^2 \cos a - 2x + \cos a}{x^2 - 2x \cos a + 1} \leq 1
\]

Khi đưa lên mẫu, ta có:

\[
x^2 \cos a - 2x + \cos a \leq x^2 - 2x \cos a + 1
\]

Sắp xếp lại:

\[
x^2 \cos a - x^2 + 2x \cos a - 2x + \cos a - 1 \leq 0
\]

hay:

\[
x^2 (\cos a - 1) + 2x (\cos a - 1) + (\cos a - 1) \leq 0
\]

Factoring ra ngoài:

\[
(\cos a - 1)(x^2 + 2x + 1) \leq 0
\]

Vì \( \cos a < 1 \) trong khoảng \( 0 < a < \pi \), nên ta có được:

\[
x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \geq 0
\]

Do đó, bất đẳng thức này luôn đúng.

### Cận dưới \( y \geq -1 \)

Giả sử:

\[
\frac{x^2 \cos a - 2x + \cos a}{x^2 - 2x \cos a + 1} \geq -1
\]

Khi đưa lên mẫu, ta có:

\[
x^2 \cos a - 2x + \cos a \geq - x^2 + 2x \cos a - 1
\]

Sắp xếp lại:

\[
x^2 \cos a + x^2 - 2x + 2x \cos a + \cos a + 1 \geq 0
\]

Hay:

\[
x^2 (\cos a + 1) + 2x (\cos a - 1) + (\cos a + 1) \geq 0
\]

Xét đa thức:

\[
(\cos a + 1)(x^2 + 1) + 2(\cos a - 1)x \geq 0
\]

### Kết luận

Vì \( \cos a + 1 > 0 \) và \( x^2 + 1 \geq 0 \) luôn đúng, nên bất đẳng thức cũng đúng.

Vậy ta kết luận được rằng:

\[
-1 \leq y \leq 1
\]

với mọi \( x \).