Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại a và b sao cho góc OAO` > 90. Đường thẳng OA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 tại C và cắt đường tròn (O`) tại điể thứ hai là E. Đường thẳng AO` cắt đường tròn (O`) tại điểm thứ 2 là D và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. Chứng minh rằng: điểm A là tâm đường tròn nội tiếp tma giác BEF

Để chứng minh điểm A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BEF, ta cần chỉ ra rằng điểm A nằm trên đường phân giác của các góc tại các đỉnh B, E và F của tam giác BEF.

### Bước 1: Xác định các điểm
1. Đặt các đường tròn (O) và (O') lần lượt có tâm tại O và O', và cắt nhau tại hai điểm A và B.
2. Đường thẳng OA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là C và cắt đường tròn (O') tại điểm thứ hai là E.
3. Đường thẳng AO' cắt đường tròn (O') tại điểm thứ hai là D và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F.

### Bước 2: Cấu trúc góc
- Ta có góc AOB = góc OAO' > 90 độ (theo giả thiết).
- Vì B nằm trên đường tròn (O), nên ta có:
\[
OA^2 = OB^2 + AB^2
\]
(theo định lý cosin).

### Bước 3: Xét các tam giác
- Xét tam giác OAE và OAF.
- Từ định nghĩa về góc nội tiếp, ta có:
\[
EA \cdot AE' = OA \cdot OE \quad \text{(góc EAE'} = 90)
\]
\[
FA \cdot AF' = OA \cdot OF \quad \text{(góc FAF'} = 90)
\]

### Bước 4: Góc tại A
Chúng ta sẽ xác minh rằng A là điểm tọa độ 45 độ từ các cạnh BE và BF.

- Với các góc:
- Giả sử góc ABE = α, góc AEF = β và góc AFB = ϕ.
- Kèm theo (OA là tiếp tuyến với đường tròn), ta có:
\[
\text{góc ABE} = \text{góc AEF} = \text{góc AFB} = 90.
\]

Kết hợp điều này, chúng ta suy ra rằng các đường phân giác của tam giác BEF đều đi qua A.

### Kết luận
Do đó, điểm A là điểm nằm trên các đường phân giác của tam giác BEF, chứng tỏ rằng nó là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác BEF. Vậy ta đi đến kết luận rằng:
**Điểm A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BEF.**