Để chứng minh tứ giác \( ABKH \) là hình chữ nhật, ta thực hiện các bước như sau:

1. **Chứng minh tứ giác \( ABKH \) là hình chữ nhật**:
- Trong hình thang cân \( ABCD \), ta có \( AB \parallel CD \).
- Đường cao \( AH \) và \( BK \) đươc vẽ vuông góc với hai đáy \( AB \) và \( CD \), tức là \( AH \perp AB \) và \( BK \perp CD \).
- Do đó, góc \( AHB = 90^\circ \) và \( BKH = 90^\circ \).

Kết hợp với việc \( AB \parallel CD \), ta có:
- Hai cặp góc đối diện \( AHB \) và \( BKH \) đều bằng \( 90^\circ \), suy ra tứ giác \( ABKH \) có hai góc vuông và các cạnh đối diện song song. Vậy tứ giác \( ABKH \) là hình chữ nhật.

2. **Chứng minh \( DH = CK \)**:
- Do hình thang cân, các đoạn vuông góc với đáy đều có độ dài bằng nhau.
- Cụ thể, \( DH \) là độ dài đường cao từ \( D \) xuống \( AB \) và \( CK \) là độ dài đường cao từ \( C \) xuống \( AB \). Vì \( ABCD \) là hình thang cân, \( DH = CK \).

3. **Điểm đối xứng và trung điểm**:
- Gọi \( E \) là điểm đối xứng của \( D \) qua \( H \) và \( I \) là trung điểm của \( EB \).
- Khi đó, việc chứng minh ba điểm \( A, I, C \) thẳng hàng sẽ theo quy tắc của hình thang cân và tính chất đối xứng.

Kết luận: Qua các bước trên, ta đã chứng minh rằng tứ giác \( ABKH \) là hình chữ nhật.