Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, ta sẽ tiến hành như sau:

**a) Chứng minh tam giác MBC cân.**

1. Tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M, do đó theo định nghĩa của tia phân giác, ta có:
\[
\frac{MB}{MA} = \frac{CB}{CA} \tag{1}
\]

2. Ta cũng biết rằng điểm N là giao điểm của tia phân giác ngoài của góc A với đường tròn. Tia phân giác ngoài có tính chất:
\[
\frac{NC}{NA} = \frac{CB}{CA} \tag{2}
\]

3. Từ (1) và (2), ta có:
\[
\frac{MB}{MA} = \frac{NC}{NA}
\]

4. Khi đó, theo định lý về tam giác cân thì ta có \(MB = MC\). Do đó, tam giác MBC là tam giác cân tại M.

**b) Chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng.**

1. Gọi O là tâm của đường tròn (O), từ điểm O kẻ đường thẳng OA. Vì M là điểm trên đường tròn (O) và N cũng là điểm trên đường tròn (O), do đó ta có:

- Góc AOB (góc tại tâm) sẽ bằng 2 lần góc ACB (góc tại điểm C).

2. Xét góc MON. Vì M nằm trên tia phân giác của góc A, nên góc AMO = góc ANC. Hay nói cách khác, OA và ON chia một góc chung.

3. Ta thấy \(MO\) nằm bên ngoài đường tròn (O) và \(ON\) cũng nằm trên vòng tròn (O) nên \(M, O, N\) là ba điểm thẳng hàng.

Cuối cùng, ta đã chứng minh được hai yêu cầu trong bài toán:
- Tam giác MBC là tam giác cân.
- Ba điểm M, O, N thẳng hàng.