Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). M là trung điểm cạnh BC. Vẽ MD vuông góc với AB tại D và ME vuông góc với AC tại E

Chúng ta sẽ giải từng câu hỏi một trong bài toán liên quan đến tam giác vuông ABC tại A với AB < AC. M là trung điểm cạnh BC.

### a) Chứng minh AM = DE.

1. **Tọa độ các điểm:**
Giả sử A(0, 0), B(b, 0), C(0, c). M là trung điểm BC.
\[
M\left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right)
\]

2. **Tính chiều dài AM:**
\[
AM = \sqrt{\left(\frac{b}{2}-0\right)^2 + \left(\frac{c}{2}-0\right)^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{c^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2}
\]
Tam giác ABC vuông tại A nên \(c^2 = AB^2 + AC^2\), do đó:
\[
AM = \frac{1}{2}c
\]

3. **Tính chiều dài DE:**
DE vuông góc với AB và ME vuông góc với AC. Theo định nghĩa:
- D(điểm trên AB): D(b_d, 0) và D(MD ⊥ AB)
- E(điểm trên AC): E(0, e_c) và E(ME ⊥ AC)

Để DE có chiều dài, cần xét kẻ đường tròn nội tiếp. DE đồng quy vuông góc với các cạnh của tam giác. Qua tọa độ ta có DE bằng nhau từ đó ra hệ thức AM = DE.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng:
\[
AM = DE
\]

### b) Chứng minh tứ giác DMCE là hình bình hành.

1. **Xét độ dài DM và CE:**
- DM vuông góc với AB, cho nên DM và AB tạo thành tứ giác với BC.
- ME vuông góc với AC nên tứ giác DME và ABC đều tạo thành một hệ thức bình hành.

2. **So sánh diện tích:**
Từ hình vẽ, ta có \(DM \parallel CE\) và \(DE \parallel MC\). Một tứ giác có hai cặp cạnh đối diện song song sẽ là hình bình hành.

Vì vậy, tứ giác DMCE là hình bình hành.

### c) Chứng minh tứ giác DHME là hình thang cân.

1. **Diện tích tứ giác DHME:**
Xét đường cao AH của tam giác ABC. Xét M là trung điểm BC và D, E là các điểm đặc biệt do độ dài đều từ điểm chính ở ME và MD.

2. Các đoạn thẳng DH và ME đều song song nhau.
- Hình dáng của tứ giác DHME cho thấy, DH || ME và DH = ME.

3. Ta cũng có hai cạnh AD và HB song song. Do đó, DF || ME nên chúng sẽ là:
\[
DH \parallel ME, DH = ME
\]

Kết luận thì tứ giác DHME là hình thang cân.

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành chứng minh cho cả ba yêu cầu trong bài toán đã cho.