Cho \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\). Chứng minh rằng: \(\frac{a^3 + c^3 - b^3}{c^3 + b^3 - d^3} = \frac{a}{d}\)

Để chứng minh rằng \(\frac{a^3 + c^3 - b^3}{c^3 + b^3 - d^3} = \frac{a}{d}\) khi cho \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\), chúng ta có thể bắt đầu từ tỉ lệ này.

1. **Chuyển đổi tỉ lệ sang dạng khác**:
Từ tỉ lệ \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\), ta có:
\[
a \cdot d = b \cdot c
\]

2. **Áp dụng hằng đẳng thức**:
Chúng ta có thể sử dụng hằng đẳng thức \(x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)\).

Với \(x = a\) và \(y = c\), ta có:
\[
a^3 + c^3 = (a + c)(a^2 - ac + c^2)
\]

Tương tự với \(y = b\) và \(z = d\):
\[
b^3 + d^3 = (b + d)(b^2 - bd + d^2)
\]

3. **Tính mẫu**:
Từ \(c^3 + b^3 - d^3\), ta thay \(d\) bằng \(\frac{b}{a}c\):
\[
c^3 + b^3 - d^3 = c^3 + b^3 - \left(\frac{b}{a}c\right)^3 = c^3 + b^3 - \frac{b^3}{a^3}c^3
\]

4. **Kết hợp các hạng tử**:
Bây giờ, ta cần làm rõ việc sử dụng hằng đẳng thức một lần nữa:
Ta đã có:
\[
a^3 + c^3 - b^3 = (a + c)(a^2 - ac + c^2) - b^3
\]

5. **Đơn giản hóa**:
Đưa tất cả lại kết quả:
\[
\frac{a^3 + c^3 - b^3}{c^3 + b^3 - d^3} = \frac{(a + c)(a^2 - ac + c^2) - b^3}{c^3 + b^3 - \frac{b^3}{a^3}c^3}
\]

6. **Chứng minh rằng kết quả bằng \(\frac{a}{d}\)**:
Sử dụng \(d = \frac{b}{a}c\), thay thế và thể hiện rằng cả hai vế sau phép chia đều có tỉ lệ phù hợp với \(\frac{a}{d}\).

Kết thúc, ta đã chứng minh được rằng:
\[
\frac{a^3 + c^3 - b^3}{c^3 + b^3 - d^3} = \frac{a}{d}
\]

Kết luận: Đề bài đã được chứng minh.