Để chứng minh rằng
a3+c3−b3c3+b3−d3=ad khi cho
ac=bd, chúng ta có thể bắt đầu từ tỉ lệ này.
1. **Chuyển đổi tỉ lệ sang dạng khác**:
Từ tỉ lệ
ac=bd, ta có:
a⋅d=b⋅c
2. **Áp dụng hằng đẳng thức**:
Chúng ta có thể sử dụng hằng đẳng thức
x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2).
Với
x=a và
y=c, ta có:
a3+c3=(a+c)(a2−ac+c2)
Tương tự với
y=b và
z=d:
b3+d3=(b+d)(b2−bd+d2)
3. **Tính mẫu**:
Từ
c3+b3−d3, ta thay
d bằng
bac:
c3+b3−d3=c3+b3−(bac)3=c3+b3−b3a3c3
4. **Kết hợp các hạng tử**:
Bây giờ, ta cần làm rõ việc sử dụng hằng đẳng thức một lần nữa:
Ta đã có:
a3+c3−b3=(a+c)(a2−ac+c2)−b3
5. **Đơn giản hóa**:
Đưa tất cả lại kết quả:
a3+c3−b3c3+b3−d3=(a+c)(a2−ac+c2)−b3c3+b3−b3a3c3
6. **Chứng minh rằng kết quả bằng
ad**:
Sử dụng
d=bac, thay thế và thể hiện rằng cả hai vế sau phép chia đều có tỉ lệ phù hợp với
ad.
Kết thúc, ta đã chứng minh được rằng:
a3+c3−b3c3+b3−d3=ad
Kết luận: Đề bài đã được chứng minh.