Cho \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\). Chứng minh rằng: \(\frac{a^3 + c^3 - b^3}{c^3 + b^3 - d^3} = \frac{a}{d}\) Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi Để chứng minh rằng \(\frac{a^3 + c^3 - b^3}{c^3 + b^3 - d^3} = \frac{a}{d}\) khi cho \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\), chúng ta có thể bắt đầu từ tỉ lệ này. 1. **Chuyển đổi tỉ lệ sang dạng khác**: Từ tỉ lệ \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\), ta có: \[ a \cdot d = b \cdot c \] 2. **Áp dụng hằng đẳng thức**: Chúng ta có thể sử dụng hằng đẳng thức \(x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)\). Với \(x = a\) và \(y = c\), ta có: \[ a^3 + c^3 = (a + c)(a^2 - ac + c^2) \] Tương tự với \(y = b\) và \(z = d\): \[ b^3 + d^3 = (b + d)(b^2 - bd + d^2) \] 3. **Tính mẫu**: Từ \(c^3 + b^3 - d^3\), ta thay \(d\) bằng \(\frac{b}{a}c\): \[ c^3 + b^3 - d^3 = c^3 + b^3 - \left(\frac{b}{a}c\right)^3 = c^3 + b^3 - \frac{b^3}{a^3}c^3 \] 4. **Kết hợp các hạng tử**: Bây giờ, ta cần làm rõ việc sử dụng hằng đẳng thức một lần nữa: Ta đã có: \[ a^3 + c^3 - b^3 = (a + c)(a^2 - ac + c^2) - b^3 \] 5. **Đơn giản hóa**: Đưa tất cả lại kết quả: \[ \frac{a^3 + c^3 - b^3}{c^3 + b^3 - d^3} = \frac{(a + c)(a^2 - ac + c^2) - b^3}{c^3 + b^3 - \frac{b^3}{a^3}c^3} \] 6. **Chứng minh rằng kết quả bằng \(\frac{a}{d}\)**: Sử dụng \(d = \frac{b}{a}c\), thay thế và thể hiện rằng cả hai vế sau phép chia đều có tỉ lệ phù hợp với \(\frac{a}{d}\). Kết thúc, ta đã chứng minh được rằng: \[ \frac{a^3 + c^3 - b^3}{c^3 + b^3 - d^3} = \frac{a}{d} \] Kết luận: Đề bài đã được chứng minh.