Cho tam giác ABC nội tiếp (O). M là điểm chính giữa cung BAC của (O). Một đường tròn bất kì đi qua A và M cắt AC, AB lần lượt tại E; F. Chứng minh rằng CE=BF

Để chứng minh rằng \( CE = BF \), ta sử dụng một số tính chất hình học liên quan đến tam giác và đường tròn.

1. **Đặt Chú thích về điểm M**: Gọi \( O \) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \) và \( M \) là điểm chính giữa cung \( BAC \) của đường tròn. Điều này có nghĩa rằng góc \( BMC = \angle BAC \).

2. **Vẽ đường tròn bất kỳ**: Cho đường tròn \( \omega \) đi qua điểm \( A \) và \( M \). Đường tròn này cắt \( AC \) tại điểm \( E \) và \( AB \) tại điểm \( F \).

3. **Xét các góc**: Ta có:
\[
\angle BAE = \angle BME \quad (\text{góc nội tiếp chắn cung } BE)
\]
\[
\angle BAF = \angle BMF \quad (\text{góc nội tiếp chắn cung } BF)
\]
Do \( M \) là điểm chính giữa cung \( BAC \), ta có:
\[
\angle BME = \angle BMF
\]
Từ đó suy ra:
\[
\angle BAE = \angle BAF
\]

4. **Sử dụng tam giác đồng dạng**: Ta có hai tam giác \( ABE \) và \( ABF \) với góc chung \( \angle A \) và \( \angle BAE = \angle BAF \). Do đó, theo quy tắc góc-góc (AA), ta có:
\[
\triangle ABE \sim \triangle ABF
\]
Điều này dẫn đến tỷ lệ giữa các cạnh tương ứng:
\[
\frac{AE}{AF} = \frac{AB}{AB} = 1 \implies AE = AF
\]

5. **Chứng minh CE = BF**: Do \( AC \) cắt đường tròn tại \( E \) và \( AB \) cắt đường tròn tại \( F \), ta có:
- \( CE = AE \)
- \( BF = AF \)

Từ đó, từ \( AE = AF \), ta kết luận được:
\[
CE = BF
\]

6. **Kết luận**: Như vậy, ta đã chứng minh được:
\[
CE = BF
\]

Điều này khép lại bản chứng minh.