Để chứng minh \( AH \) vuông góc với \( BC \) trong tam giác \( ABC \) với \( AB = AC \) và \( H \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \), ta thực hiện các bước như sau:

1. **Ký hiệu và thiết lập**:
- Giả sử \( A \) là điểm trên mặt phẳng, \( B \) và \( C \) là hai điểm sao cho \( AB = AC \).
- Vì \( H \) là trung điểm của \( BC \), nên có \( BH = HC \).

2. **Xét góc**:
- Tia \( AH \) là tia phân giác của góc \( BAC \), tức là \(\frac{AB}{AC} = \frac{BH}{HC}\).

3. **Sử dụng định lý phân giác**:
- Từ điều kiện \( AB = AC \), dẫn đến \(\frac{AB}{AC} = 1\).
- Vậy, theo định lý phân giác:
\[
\frac{BH}{HC} = 1 \Rightarrow BH = HC
\]
- Điều này đã được xác nhận định nghĩa của \( H \) là trung điểm của \( BC \).

4. **Sử dụng tam giác vuông**:
- Trong tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- \( AB = AC \)
- \( BH = HC \)
- \( AH \) là chung.

5. **Kết luận**:
- Do \( AB = AC \) và \( BH = HC \), dẫn đến hai tam giác \( AHB \) và \( AHC \) bằng nhau (theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh).
- Điều này kéo theo rằng \( \angle AHB = \angle AHC \).
- Vì \( AH \) là tia phân giác của góc \( BAC \), \( AH \) chia \( \angle BAC \) thành hai góc bằng nhau. Theo lý thuyết về phân giác, góc giữa \( AH \) với \( BC \) là góc vuông.

Do đó, ta có thể kết luận rằng \( AH \) vuông góc với \( BC \).

Vậy, \( AH \perp BC \) như yêu cầu chứng minh.