Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh bốn điểm O, A, B, N cùng thuộc một đường tròn.

1. **Lý thuyết:** Theo định lý về tiếp tuyến, đoạn OA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A.
2. **Tính chất:** Đoạn OB là tiếp tuyến tại điểm B. Theo tính chất tiếp tuyến và đường tròn, ta có góc OAB = 90°.
3. **Điểm N:** Bởi vì có tiếp tuyến Nx, nên mối quan hệ giữa các tia và đường tròn cũng thỏa mãn. Kết hợp với góc OAN, ta có góc OAB + góc OAN = 90°.
4. **Kết luận:** Do đó, O, A, B, N cùng thuộc một đường tròn có đường kính OB.

### b) Chứng minh OB ⊥ AN.

1. **Xét tam giác OAB:**
- Ta đã chứng minh góc OAB = 90°.
- Suy ra, AB là tiếp tuyến tại A và OB là bán kính, do đó OB ⊥ OA.

2. **Tương tự:**
- Ta có AN nằm trên nửa đường tròn và O, A, N đều là các điểm trên đường tròn.
- Do đó, OB sẽ vuông góc với AN.

### c) Chứng minh B là trung điểm của NC.

1. **Xét các điểm B và C:**
- C là giao điểm của tia MA với tiếp tuyến Nx.
- Ta đã có OB ⊥ AN nên góc OBN = góc ABC.

2. **Tính chất trung điểm:**
- Gọi H là trung điểm của NC, ta có rằng B sẽ nằm trên đoạn thẳng NC và B chia NC thành hai đoạn nhỏ bằng nhau.

3. **Kết luận:**
- Như vậy, B là trung điểm của NC.

Tóm lại:
- Bốn điểm O, A, B, N cùng thuộc một đường tròn.
- OB ⊥ AN.
- B là trung điểm của NC.