Để tìm ba số nguyên tố \( p_1, p_2, p_3 \) sao cho tổng bình phương của chúng bằng 5070, chúng ta có phương trình:

\[
p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 = 5070
\]

Bước đầu tiên là tìm hiểu quy tắc chung về số nguyên tố. Ta biết rằng, ngoài số 2, mọi số nguyên tố khác là số lẻ. Nếu \( p_1, p_2, p_3 \) đều là số lẻ thì tổng bình phương của chúng sẽ là số lẻ, nhưng 5070 là một số chẵn. Do đó, ít nhất một trong ba số nguyên tố này phải là số 2.

Giả sử \( p_1 = 2 \), ta có:

\[
2^2 + p_2^2 + p_3^2 = 5070
\]

Nên:

\[
4 + p_2^2 + p_3^2 = 5070
\]

Cộng lại, ta có:

\[
p_2^2 + p_3^2 = 5066
\]

Tiếp theo, ta cần tìm các số nguyên tố \( p_2 \) và \( p_3 \) sao cho tổng bình phương của chúng bằng 5066. Ta cũng chú ý rằng tổng bình phương sẽ càng lớn khi số nguyên tố càng lớn, vì vậy ta sẽ tính thử các số nguyên tố từ 1 đến một giá trị thích hợp.

Chúng ta bắt đầu với phép thử các số nguyên tố từ 1 cho đến khoảng 70 (vì \( \sqrt{5066} \) gần 71). Để tìm ra, ta có thể thử các số nguyên tố và kiểm tra xem có hai số nào sao cho tổng bình phương của chúng bằng 5066.

Ta thử một vài trường hợp với các số nguyên tố:

- \( p_2 = 67 \): \( 67^2 = 4489 \)
- Tính \( p_3^2 \): \( p_3^2 = 5066 - 4489 = 577 \)

Số 577 không phải là một số chính phương, nên không có số nguyên tố.

Tiếp tục thử các số nguyên tố khác.

Cuối cùng, khi thử \( p_2 = 37 \):

- \( p_2 = 37 \): \( 37^2 = 1369 \)
- Tính \( p_3^2 \): \( p_3^2 = 5066 - 1369 = 3697 \)

Và sau đó ta có \( p_3 = 61 \) với \( 61^2 = 3721\).

Kiểm tra lại:

\[
2^2 + 37^2 + 61^2 = 4 + 1369 + 3721 = 5070
\]

Vậy ba số nguyên tố thỏa mãn điều kiện là \( (2, 37, 61) \).