Để phân tích các mệnh đề trong câu hỏi này, ta cần xem xét tính chất của hình học trong tứ diện ABCD có I và J là trung điểm của các cạnh BC và BD.

1. **Mệnh đề a)**: \( IJ = \frac{1}{2}CD \)
- Đúng, vì I và J là trung điểm của các cạnh, theo định lý trung điểm, đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh trong cùng một mặt phẳng sẽ có độ dài bằng một nửa độ dài cạnh còn lại.

2. **Mệnh đề b)**: \( MN \) cắt \( DC \)
- Sai, vì \( MN \) là đoạn nối hai điểm trên các cạnh AC, AD, và không nhất thiết phải cắt \( DC \).

3. **Mệnh đề c)**: \( IJNM \) là một hình thang
- Đúng, vì IJ song song với MN, do chúng đều nằm trên cùng một mặt phẳng và song song với nhau.

4. **Mệnh đề d)**: Để \( IJNM \) là hình bình hành thì M là trung điểm của đoạn AC.
- Đúng, nếu IJNM là một hình bình hành thì các đoạn nối giữa các cặp điểm đối diện phải song song và bằng nhau. Điều này đúng chỉ khi M là trung điểm của AC.

### Kết luận
- **Mệnh đề sai**: b) (MN cắt DC)