Để giải bài toán này, ta cần tìm chiều cao của bể chứa nước hình hộp chữ nhật với thể tích đã cho và các điều kiện cụ thể nhằm tối ưu hóa chi phí vật liệu xây dựng.

1. **Đặt các biến:**
- Chiều rộng của bể: \( w \) (m)
- Chiều dài của bể: \( l = 2w \) (m)
- Chiều cao của bể: \( h \) (m)

2. **Tính thể tích:**
Đề bài cho rằng thể tích bể là 36 m³. Ta có công thức thể tích của hình hộp chữ nhật là:
\[
V = l \times w \times h
\]
Thay \( l = 2w \) vào công thức thể tích:
\[
36 = 2w \times w \times h
\]
Từ đó, ta rút được:
\[
h = \frac{36}{2w^2} = \frac{18}{w^2}
\]

3. **Tính diện tích bề mặt:**
Bể không có nắp, diện tích bề mặt sẽ được tính bằng:
\[
S = l \times w + 2 (l \times h + w \times h)
\]
Thay \( l = 2w \) vào công thức diện tích:
\[
S = 2w \times w + 2 (2w \times h + w \times h) = 2w^2 + 2(2wh + wh) = 2w^2 + 6wh
\]
Thay \( h = \frac{18}{w^2} \) vào biểu thức diện tích:
\[
S = 2w^2 + 6w \cdot \frac{18}{w^2} = 2w^2 + \frac{108}{w}
\]

4. **Tối thiểu hóa diện tích:**
Để tìm giá trị của \( w \) sao cho diện tích \( S \) là nhỏ nhất, ta sẽ tính đạo hàm của \( S \) theo \( w \) và đặt nó bằng 0:
\[
S' = 4w - \frac{108}{w^2}
\]
Đặt \( S' = 0 \):
\[
4w = \frac{108}{w^2} \implies 4w^3 = 108 \implies w^3 = 27 \implies w = 3
\]

5. **Tính chiều cao \( h \):**
Khi \( w = 3 \):
\[
h = \frac{18}{w^2} = \frac{18}{3^2} = \frac{18}{9} = 2
\]

6. **Kiểm tra điều kiện:**
Theo điều kiện đề bài, chiều rộng \( w \) không quá 4 m. Với \( w = 3 \), điều kiện này thỏa mãn.

7. **Kết luận:**
Chiều cao của bể nước \( h \) để tổng chi phí vật liệu là nhỏ nhất là:
\[
\boxed{2 \text{ m}}
\]