Cho B= √x+1/√x-3 > Tìm  x ∈ Z để B có giá trị là một số nguyên dương

Để giải bài toán này, ta có biểu thức:

\[
B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}
\]

Ta muốn tìm giá trị của \( x \in \mathbb{Z} \) sao cho \( B \) là một số nguyên dương.

Đầu tiên, điều kiện để biểu thức \( B \) được xác định là \( \sqrt{x} - 3 \neq 0 \), tức là \( \sqrt{x} \neq 3 \) hay \( x \neq 9 \).

Tiếp theo, để \( B \) là một số nguyên dương, ta có thể viết:

\[
B > 0 \quad \text{và} \quad B \in \mathbb{Z}^+
\]

1. **Xác định điều kiện \( B > 0 \):**

Điều này xảy ra khi cả tử số và mẫu số đều dương hoặc cả tử số và mẫu số đều âm.

- Tử số: \( \sqrt{x} + 1 > 0 \) luôn đúng cho mọi \( x \geq 0 \).
- Mẫu số: \( \sqrt{x} - 3 > 0 \implies \sqrt{x} > 3 \implies x > 9 \).

2. **Tìm giá trị nguyên dương của \( B \):**

Để \( B \) là số nguyên dương, ta có thể viết:

\[
\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} = n \quad \text{với } n \in \mathbb{Z}^+
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
\sqrt{x} + 1 = n (\sqrt{x} - 3)
\]

\[
\sqrt{x} + 1 = n\sqrt{x} - 3n
\]

\[
\sqrt{x} - n\sqrt{x} = -3n - 1
\]

\[
\sqrt{x}(1 - n) = -3n - 1
\]

\[
\sqrt{x} = \frac{-3n - 1}{1 - n} \quad \text{(với điều kiện } n \neq 1\text{)}
\]

Khi \( n < 1 \), tử số âm sẽ dẫn đến nghiệm dương cho \( x \). Do đó ta cần \( n > 1 \).

3. **Tìm các giá trị nguyên của \( n \):**

Thay \( n = k \) với \( k \in \mathbb{Z}^+ \) (và \( k > 1 \)):

Ta có:

\[
\sqrt{x} = \frac{-3k - 1}{1 - k}
\]

Kiểm tra giá trị của \( k = 2, 3, \ldots \)

Lấy ví dụ với \( k = 2 \):

\[
\sqrt{x} = \frac{-6 - 1}{1 - 2} = \frac{-7}{-1} = 7 \implies x = 49
\]

Khi \( k = 3 \):

\[
\sqrt{x} = \frac{-9 - 1}{1 - 3} = \frac{-10}{-2} = 5 \implies x = 25
\]

Khi \( k = 4 \):

\[
\sqrt{x} = \frac{-12 - 1}{1 - 4} = \frac{-13}{-3} \approx 4.33 \implies x \text{ không nguyên}.
\]

Vì thế, giá trị nguyên duy nhất cho \( B \) khi \( n = 2, 3 \).

**Kết luận:**

Các giá trị nguyên dương của \( B \) xảy ra khi \( x = 49 \) và \( x = 25 \).

Vậy, \( x \in \mathbb{Z} \) sao cho \( B \) là số nguyên dương là:

\[
x = 25, 49
\]