Cho tam giác vuông \( ABC \) có các cạnh góc vuông là \( AB=1, AC=2 \). Điểm \( N \) thỏa mãn \( CN = CA + CB + CI \) với \( I \) là trung điểm \( AB \). Tính độ dài vectơ \( CN \

Để giải bài toán, ta sẽ xác định vị trí của các điểm trong tam giác vuông \( ABC \) rồi tính toán độ dài vectơ \( CN \).

1. **Xác định các điểm**:
- Cho \( A(0, 0) \), \( B(1, 0) \), \( C(0, 2) \).
- Trung điểm \( I \) của đoạn \( AB \) là:
\[
I\left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0\right).
\]

2. **Tính độ dài các đoạn**:
- Đoạn \( CA \):
\[
CA = |C - A| = |(0, 2) - (0, 0)| = \sqrt{(0-0)^2 + (2-0)^2} = 2.
\]
- Đoạn \( CB \):
\[
CB = |C - B| = |(0, 2) - (1, 0)| = \sqrt{(0-1)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}.
\]
- Đoạn \( CI \):
\[
CI = |C - I| = |(0, 2) - \left(\frac{1}{2}, 0\right)| = \sqrt{\left(0 - \frac{1}{2}\right)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 4} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{16}{4}} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2}.
\]

3. **Tính độ dài \( CN \)**:
- Theo đề bài, ta có:
\[
CN = CA + CB + CI = 2 + \sqrt{5} + \frac{\sqrt{17}}{2}.
\]

Vậy độ dài vectơ \( CN \) là:
\[
CN = 2 + \sqrt{5} + \frac{\sqrt{17}}{2}.
\]