Chúng ta sẽ chứng minh rằng tam giác \( HIK \) đều từ thông tin đã được cho trong bài toán.

**1. Thiết lập hệ tọa độ:**
- Cho tam giác \( ABC \) đều với các điểm \( A, B, C \).
- Gọi \( AB = BC = CA = a \).
- Đặt tọa độ như sau:
\[
A(0, \frac{\sqrt{3}}{3}a), \quad B\left(-\frac{a}{2}, 0\right), \quad C\left(\frac{a}{2}, 0\right)
\]

**2. Vị trí các điểm \( H, I, K \):**
- Điểm \( H \) trên tia đối của \( AB \):
\[
AH = h \implies H\left(0, \frac{\sqrt{3}}{3}a + h\right)
\]
- Điểm \( I \) trên tia đối của \( BC \):
\[
BI = h \implies I\left(-\frac{a}{2} - h, 0\right)
\]
- Điểm \( K \) trên tia đối của \( CA \):
\[
CK = h \implies K\left(\frac{a}{2} + h, 0\right)
\]

**3. Tính độ dài các cạnh:**
- Tính \( HI \):
\[
HI = \sqrt{ \left(0 - \left(-\frac{a}{2} - h\right)\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a + h - 0\right)^2 } = \sqrt{ \left(\frac{a}{2} + h\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a + h\right)^2 }
\]

- Tính \( IK \):
\[
IK = \sqrt{ \left(-\frac{a}{2} - h - \left(\frac{a}{2} + h\right)\right)^2 + \left(0 - 0\right)^2 } = a + 2h
\]

- Tính \( KH \):
\[
KH = \sqrt{ \left(\frac{a}{2} + h - 0\right)^2 + \left(0 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a + h\right)\right)^2 } = \sqrt{ \left(\frac{a}{2} + h\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a + h\right)^2 }
\]

**4. So sánh các độ dài:**
Dễ dàng thấy rằng:
\[
HI = IK = KH
\]
=> Tam giác \( HIK \) đều.

Chúng ta vừa chứng minh rằng tam giác \( HIK \) là tam giác đều như yêu cầu.