Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh các yêu cầu a) và b).

### a) Chứng minh rằng \(\triangle ADE\) cân

1. **Giả thiết:** \(\triangle ABC\) là tam giác cân tại \(A\), tức là \(AB = AC\).
2. **Xét điểm \(D\) trên cạnh \(AB\) và điểm \(E\) trên cạnh \(AC\) sao cho \(BD = CE\).
3. **Chứng minh:**
- Gọi \(x = BD = CE\).
- Ta có \(AD = AB - BD = AB - x\) và \(AE = AC - CE = AC - x\).
- Do \(AB = AC\), ta có \(AD = AE\).
4. **Kết luận:**
- Vì \(AD = AE\) nên \(\triangle ADE\) cân tại \(A\).

### b) Chứng minh \(\triangle BMC\) cân

1. **Gọi \(M\) là giao điểm của \(BE\) và \(CD\)**.
2. **Chứng minh:**
- Xét các tam giác \(\triangle BAE\) và \(\triangle CAD\), ta có:
- \(AB = AC\) (do \(\triangle ABC\) cân)
- \(AD = AE\) (do \(\triangle ADE\) đã chứng minh)
- \(\angle ABE = \angle ACD\) (cùng là góc tại \(A\))
- Sử dụng tiêu đề hai tam giác này, ta có \(\triangle BAE \cong \triangle CAD\) (theo tiêu đề).
- Suy ra \(BE = CD\).
3. **Kết luận:**
- Ta có \(\triangle BMC\) cân vì \(BM = MC\).

### 4B. Chứng minh \(\triangle AB_1\) và \(\triangle AC_1\) cân

1. **Gọi \(A\) là điểm trên đường thẳng \(BC\)**, \(B_1\) và \(C_1\) là các điểm trên các đường thẳng song song với \(BC\).
2. **Chứng minh:**
- Cả hai tam giác trên đều có chung chiều cao từ \(A\) và cạnh đáy \((B_1C_1)\) là song song với \(BC\).
- Điều này cho thấy \(\angle AB_1A = \angle AC_1A\).
3. **Kết luận:**
- Do đó, cả hai tam giác đều cân.

Vậy chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu trong bài.