Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, E là điểm đối xứng với H qua AC. Gọi I là giao điểm của AB và DH, K là giao điểm của AC và EH

Để giải bài toán này, ta sẽ đi từng câu một:

### a) Tứ giác AIHK là hình gì? Vì sao?
Tứ giác AIHK là hình chữ nhật. Bởi vì:
- AH và HK là đường cao hạ từ A lên BC, do đó chúng vuông góc với BC.
- Các đường thẳng AI và HK đều song song với nhau (bởi I là giao điểm của AB và DH, và K là giao điểm của AC và EH).
- Do đó, tứ giác AIHK có hai cặp cạnh đối diện song song và vuông góc, nên nó là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng:
Ta có:
- H là chân đường cao từ A xuống BC.
- D và E là điểm đối xứng của H qua AB và AC, do đó D và E có cùng khoảng cách từ H tới AB và AC.
- Vì D và E nằm trên các đường thẳng AB và AC tương ứng và A nằm trên đường thẳng nối giữa D và E, cho nên 3 điểm D, A, E thẳng hàng.

### c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM ⊥ IK:
Xét tam giác ABC vuông tại A:
- Ta có AI ⊥ BC và AK ⊥ BC, do đó cả hai đường thẳng AM (từ A đến M, trung điểm của BC) đều vuông góc với BC.
- Do đó, AI và AK đều là các đường cao của các tam giác vuông tương ứng, từ đó suy ra rằng AM cũng vuông góc với IK (khi AE, AD lần lượt đối xứng qua AB và AC).

Như vậy, AM ⊥ IK là đúng.

### Kết luận
- Tứ giác AIHK là hình chữ nhật.
- Ba điểm D, A, E thẳng hàng.
- AM ⊥ IK.