Cho hình chóp đều S.ABCD tâm O, có SD = a√2 và BC = a√3. Tính |vecto SA + vecto SC|

Để tính \(| \vec{SA} + \vec{SC} |\) trong hình chóp đều \( S.ABCD \), ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Tìm tọa độ các điểm:**
- Gọi \( O \) là tâm của hình vuông \( ABCD \).
- Vì \( SD = a\sqrt{2} \) là chiều cao từ đỉnh \( S \) xuống đáy \( ABCD \), ta có \( S \) nằm thẳng đứng trên \( O \).
- Dễ dàng nhận thấy rằng tứ giác \( ABCD \) là hình vuông.
- Đặt các điểm:
- \( A(-\frac{BC}{2}, \frac{BC}{2}, 0) = (-\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0) \)
- \( B(\frac{BC}{2}, \frac{BC}{2}, 0) = (\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0) \)
- \( C(\frac{BC}{2}, -\frac{BC}{2}, 0) = (\frac{a\sqrt{3}}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0) \)
- \( D(-\frac{BC}{2}, -\frac{BC}{2}, 0) = (-\frac{a\sqrt{3}}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0) \)
- Tâm \( O(0, 0, 0) \)
- Tọa độ đỉnh \( S(0, 0, a\sqrt{2}) \)

2. **Tính các vec tơ:**
- Tính \(\vec{SA}\):
\[
\vec{SA} = A - S = \left(-\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right) - \left(0, 0, a\sqrt{2}\right) = \left(-\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, -a\sqrt{2}\right)
\]
- Tính \(\vec{SC}\):
\[
\vec{SC} = C - S = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right) - \left(0, 0, a\sqrt{2}\right) = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, -a\sqrt{2}\right)
\]

3. **Tính tổng \(\vec{SA} + \vec{SC}\)**:
\[
\vec{SA} + \vec{SC} = \left(-\frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{2}, -a\sqrt{2} - a\sqrt{2}\right) = (0, 0, -2a\sqrt{2})
\]

4. **Tính độ dài \( |\vec{SA} + \vec{SC}| \)**:
\[
|\vec{SA} + \vec{SC}| = |(0, 0, -2a\sqrt{2})| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-2a\sqrt{2})^2} = \sqrt{4a^2 \cdot 2} = \sqrt{8a^2} = 2a\sqrt{2}
\]

Vậy, kết quả là:
\[
|\vec{SA} + \vec{SC}| = 2a\sqrt{2}
\]