Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### a) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn \( x_1 + 5x_2 = 0 \)

1. **Sử dụng công thức Vieta**:
- Từ phương trình bậc hai \( x^2 - (m - 2)x - 5 = 0 \), theo định lý Vieta, ta có:
- \( x_1 + x_2 = m - 2 \)
- \( x_1 x_2 = -5 \)

2. **Phương trình đã cho**:
- Ta có \( x_1 + 5x_2 = 0 \) ⇒ \( x_1 = -5x_2 \)

3. **Thay thế vào công thức Vieta**:
- Thay \( x_1 = -5x_2 \) vào công thức \( x_1 + x_2 \):
\[
-5x_2 + x_2 = m - 2
\]
⇒ \( -4x_2 = m - 2 \) ⇒ \( x_2 = \frac{2 - m}{4} \) (1)

4. **Tính \( x_1 \) theo \( m \)**:
- Từ (1), \( x_2 = \frac{2 - m}{4} \), ta có:
\[
x_1 = -5x_2 = -5 \cdot \frac{2 - m}{4} = -\frac{5(2 - m)}{4} = \frac{5(m - 2)}{4}
\]

5. **Tính tích \( x_1 x_2 \)**:
- Giờ đây, ta tính \( x_1 x_2 \):
\[
x_1 x_2 = \left(\frac{5(m - 2)}{4}\right) \left(\frac{2 - m}{4}\right) = -5
\]
- Từ đó, ta có:
\[
\frac{5(m - 2)(2 - m)}{16} = -5
\]

6. **Giải phương trình**:
- Nhân cả hai vế với 16:
\[
5(m - 2)(2 - m) = -80
\]
⇒ \( (m - 2)(2 - m) = -16 \)
⇒ \( -m^2 + 4m - 4 = -16 \)
⇒ \( m^2 - 4m + 12 = 0 \)

7. **Giải phương trình bậc hai**:
- Tính delta:
\[
\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 16 - 48 = -32
\]
- Phương trình không có nghiệm thực. Vậy không có giá trị nào của \( m \) làm cho phương trình có nghiệm để thỏa mãn điều kiện \( x_1 + 5x_2 = 0 \).

### b) Giải phương trình với \( m = 2 \)

1. Thay \( m = 2 \) vào phương trình:
\[
x^2 - (2 - 2)x - 5 = 0 \Rightarrow x^2 - 5 = 0
\]
2. Giải phương trình:
\[
x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm\sqrt{5}
\]

**Kết quả**:
- Không có giá trị \( m \) nào thỏa mãn điều kiện \( x_1 + 5x_2 = 0 \).
- Phương trình với \( m = 2 \) có nghiệm: \( x_1 = \sqrt{5} \) và \( x_2 = -\sqrt{5} \).