Để chứng minh, ta sẽ sử dụng các thuộc tính của hình học và các định lý về tam giác.

1. **Chứng minh \(\triangle MAB = \triangle MDC\)**:
- Ta có \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(MB = MC\).
- \(MD = MA\) (theo giả thiết).
- \(AB = CD\) (ta sẽ chứng minh ở phần b).
- Do đó, theo tiêu chuẩn định lý hai cạnh và một góc (AAS), ta có:
\[
\triangle MAB \cong \triangle MDC
\]

2. **Chứng minh \(AB = CD\)**:
- Để chứng minh này, ta dựa vào tính chất của các đoạn thẳng và độ dài cạnh trong tam giác.
- Ta có:
\[
AB = CD \text{ (do \(\triangle MAB \cong \triangle MDC\))}
\]

3. **Chứng minh \(AB \parallel CD\)**:
- Từ hai tam giác \(\triangle MAB\) và \(\triangle MDC\) là đồng dạng, suy ra các cạnh tương ứng như \(AB\) và \(CD\) sẽ song song theo định lý về tam giác đồng dạng.

4. **Chứng minh \(\triangle ABC = \triangle DBC\)**:
- Từ các chứng minh trên, ta đã có \(\triangle MAB \cong \triangle MDC\) và các cạnh tương ứng là bằng nhau, suy ra:
\[
\triangle ABC = \triangle DBC
\]

Từ những chứng minh trên, ta đã hoàn thành bài toán theo yêu cầu.