Để chứng minh rằng \( BC \) vuông góc với \( OA \) và \( HA \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình phẳng và đường tròn.

### Chứng minh \( BC \) vuông góc với \( OA \):

1. **Giả thiết**: \( H \) là giao điểm của \( OA \) và \( BC \).
2. **Tính chất**: Trong một hình tròn, đường tiết diện vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.
3. \( HA \) là bán kính của đường tròn tại điểm \( H \).
4. Suy ra \( BC \) vuông góc với \( OA \) tại \( H \) (bởi vì \( H \) là điểm tiếp xúc).

### Chứng minh \( HA \) vuông góc với \( HO \):

1. **Giả thiết**: Điểm \( H \) là giao điểm của hai đường thẳng.
2. \( OA \) là bán kính đi qua \( A \), và \( AT \) là tiếp tuyến tại \( H \).
3. Theo tính chất hình tròn, \( HA \perp HO \).

### Chứng minh \( HO = HB \cdot HC \):

1. **Sử dụng định lý tiếp tuyến**: \( HO \) là đoạn thẳng nối trung điểm của đoạn \( AB \) với tâm \( O \).
2. Theo định lý tiếp tuyến, ta có:
\[
HO^2 = HA^2 - AO^2 \implies HO = HB \cdot HC.
\]

Cho nên, \( HA.HO = HB.HC \) cũng chứng minh được.

### Tóm lại:
Chúng ta đã chứng minh được cả hai yếu tố: \( BC \) vuông góc với \( OA \) và \( HO = HB \cdot HC \).

Nếu bạn cần thêm chi tiết cho từng bước hoặc phần nào khác, hãy cho biết!