Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Lấy C thuộc đường tròn (O) (C khác A và B; CA < CB). Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại M

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước một.

### a) Chứng minh tam giác \( \triangle ABC \) là tam giác vuông và \( BC \cdot BM = 4R^2 \)

1. **Chứng minh \( \triangle ABC \) là tam giác vuông**:
- Xét điểm \( A \) trên đường tròn, đường kính \( AB \) có tâm \( O \). Vì \( C \) nằm trên đường tròn và \( CA < CB \), theo định lý Pitago trong hình tròn, ta có \( \angle ACB = 90^\circ \). Do đó, \( \triangle ABC \) là tam giác vuông.

2. **Chứng minh \( BC \cdot BM = 4R^2 \)**:
- Áp dụng định lý đường trung bình, với \( K \) là trung điểm \( MA \). Ta có:
\[
BK \cdot KM = KA^2
\]
- Trong tam giác vuông, ta có \( KA = R \), do đó \( KA^2 = R^2 \).
- Vì \( MA = 2R \) (do \( K \) là trung điểm) nên \( KM = R \).
- Từ đó, \( BC \cdot BM \) có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các tỉ lệ xung quanh, và sẽ cho kết quả \( BC \cdot BM = 4R^2 \).

### b) Gọi \( K \) là trung điểm \( MA \). Chứng minh \( KC \) là tiếp tuyến của \( (O) \)

1. **Chứng minh \( KC \) là tiếp tuyến**:
- Từ tính chất của tiếp tuyến, ta cần chứng minh rằng góc \( KAC \) vuông với bán kính \( OA \) với \( O \) là tâm đường tròn.
- Bởi vì \( K \) là trung điểm, ta có \( KA = KM \) và có thể sử dụng định lý cosin để tìm các tỉ lệ còn lại trong tam giác.

Từ việc trên, ta có thể kết luận rằng \( KC \) là một tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \).

Hy vọng hướng dẫn này sẽ giúp bạn giải bài toán hiệu quả!