Để giải quyết bài toán này, ta sẽ sử dụng công thức kinematics cho chuyển động rơi tự do. Công thức này là:

\[ h = v_0 t + \frac{1}{2} g t^2 \]

Trong đó:
- \( h \) là độ cao (300 m),
- \( v_0 \) là vận tốc ban đầu,
- \( g \) là gia tốc rơi tự do (9.8 m/s²),
- \( t \) là thời gian (s).

### 1. Trường hợp khí cầu đang đứng yên

Khi khí cầu đứng yên, vận tốc ban đầu \( v_0 = 0 \).

Ta có phương trình:

\[ 300 = 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot t^2 \]

Rút gọn lại:

\[ 300 = 4.9 t^2 \]

Giải cho \( t^2 \):

\[ t^2 = \frac{300}{4.9} \approx 61.22 \]

\[ t \approx \sqrt{61.22} \approx 7.81 \, \text{s} \]

### 2. Trường hợp khí cầu chuyển động thẳng đều đi lên với vận tốc 4.9 m/s

Vận tốc ban đầu \( v_0 = 4.9 \) m/s. Tuy nhiên, trong trường hợp này, vật rơi xuống sẽ có ma sát với lực động lực lên từ khí cầu. Do đó, ta cần tính lực tác động của khí cầu:

\[ h = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \]

Ta có:

\[ 300 = 4.9t - 4.9t^2 \]

Giải phương trình:

\[ 4.9t^2 - 4.9t + 300 = 0 \]

Sử dụng công thức nghiệm:

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Với \( a = 4.9, b = -4.9, c = 300 \):

\[ b^2 - 4ac = (-4.9)^2 - 4 \cdot 4.9 \cdot 300 \]

Tính giá trị b² - 4ac:

\[ (-4.9)^2 = 24.01 \]
\[ 4 \cdot 4.9 \cdot 300 = 5880 \]
\[ b^2 - 4ac = 24.01 - 5880 \approx -5855.99 \]

Vì vậy, không có nghiệm dương cho phương trình, có nghĩa là vật không thể chạm đất trong trường hợp này, do khí cầu di chuyển lên quá nhanh.

### 3. Khí cầu chuyển động thẳng đều đi xuống với vận tốc 4.9 m/s

Vận tốc ban đầu \( v_0 = -4.9 \) m/s (vì hướng chuyển động xuống dưới). Ta có:

\[ 300 = -4.9t + \frac{1}{2} \cdot 9.8 t^2 \]

Hay viết lại:

\[ 300 = -4.9t + 4.9t^2 \]

Phương trình trở thành:

\[ 4.9t^2 - 4.9t - 300 = 0 \]

Tương tự như với trường hợp trên, ta cũng dùng công thức nghiệm:

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Với \( a = 4.9, b = -4.9, c = -300 \):

\[ b^2 - 4ac = (-4.9)^2 - 4 \cdot 4.9 \cdot (-300) \]

Tính giá trị:

\[ (-4.9)^2 = 24.01 \]
\[ 4 \cdot 4.9 \cdot 300 = 5880 \]
\[ b^2 - 4ac = 24.01 + 5880 \approx 5904.01 \]

Giải phương trình:

\[ t = \frac{4.9 \pm \sqrt{5904.01}}{2 \cdot 4.9} \]

Tính nghiệm dương:

\[ t = \frac{4.9 + 76.83}{9.8} \approx \frac{81.73}{9.8} \approx 8.34 \, \text{s} \]

### Tóm tắt:
1. Khí cầu đứng yên: khoảng 7.81 s
2. Khí cầu đi lên nhanh chóng: không chạm đất
3. Khí cầu đi xuống: khoảng 8.34 s