Giải phương trình \( x^2 + 3x - 4 = 0 \).

### 1) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Để chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta tính nghiệm bằng công thức Delta:

\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]

Với \( a = 1 \), \( b = 3 \), \( c = -4 \):

\[
\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25
\]

Vì \( \Delta > 0 \), nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

### Tính tổng và tích hai nghiệm.

Tổng nghiệm \( S = x_1 + x_2 \) và tích nghiệm \( P = x_1 x_2 \) được tính bằng:

\[
S = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{1} = -3
\]

\[
P = \frac{c}{a} = \frac{-4}{1} = -4
\]

### 2) Tính các giá trị:

- \( \frac{2x_1 + 2x_2}{x_1 x_2 + 1} \):
\[
\frac{2(x_1 + x_2)}{x_1 x_2 + 1} = \frac{2(-3)}{-4 + 1} = \frac{-6}{-3} = 2
\]

- \( \frac{1}{x_1} \) và \( \frac{1}{x_2} \):
Sử dụng đặc tính của nghiệm:
\[
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}
\]

- Tính \((x_1 + x_2)^2\):
\[
(x_1 + x_2)^2 = S^2 = (-3)^2 = 9
\]

Tính \( -3x_1 x_2 \):
\[
-3(-4) = 12
\]

Việc này dẫn đến:
\[
(x_1 + x_2)^2 = -3x_1 x_2 \Rightarrow 9 = 12 \text{ (không đúng)}
\]

- Tính \( x_1^2 + x_2^2 \):
\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = S^2 - 2P = 9 - 2(-4) = 9 + 8 = 17
\]

### Kết luận:

1. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
2. Tổng nghiệm là \(-3\) và tích nghiệm là \(-4\).
3. Các giá trị tính được là:
- \( \frac{2x_1 + 2x_2}{x_1 x_2 + 1} = 2 \)
- \( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{3}{4} \)
- \( (x_1 + x_2)^2 = 9 \)
- \( x_1^2 + x_2^2 = 17 \)