Để chứng minh các hệ quả trong bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

### a) Chứng minh rằng \(\triangle OAC = \triangle OBC\)

1. **Điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy, điểm C thuộc tia Oz**.
2. Vì \(Oz\) là tia phân giác của góc \(xOy\), ta có:
- \(\angle AOC = \angle BOC\) (cùng là góc đối).
3. **Chiều dài các cạnh**:
- Theo giả thiết \(CAO = CBO\), sẽ có \(AC = BC\) (theo công thức định nghĩa của độ dài).
4. **Kết luận**:
- Suy ra \(\triangle OAC \cong \triangle OBC\) (theo tiêu chí góc - cạnh - góc, hay còn gọi là tiêu chí AAS).
- Hay \( \angle OAC = \angle OBC \) và \(AC = BC\).

### b) Lấy điểm M trên tia đối của tia CO. Chứng minh rằng \(\triangle MAC = \triangle MBC\)

1. **Điểm M nằm trên tia đối của CO** và cho suy ra rằng \(\angle MAC = \angle MBC\) (góc đối đỉnh).
2. **Từ suy diễn trên**, ta có:
- \(MA = MB\) (bởi vì AC = BC và \(M\) đều nằm trên tia đối).
3. **Kết luận**:
- Suy ra:
\(\triangle MAC \cong \triangle MBC\) (theo tiêu chí cạnh - góc - cạnh, là tiêu chí SSS).

Tóm lại, bài toán đã được chứng minh đầy đủ bằng các tiêu chí đồng dạng và các tính chất về góc và cạnh của tam giác.