Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Trên tia AM lấy điểm D sao cho AM = MD

Để giải bài toán này, ta sẽ chứng minh từng phần một:

### a) Chứng minh \( \triangle AMB \cong \triangle DMC \)

1. **Điều kiện 1:**
- \( AM = MD \) (theo giả thiết).
2. **Điều kiện 2:**
- \( MB = MC \) (M là trung điểm của BC).
3. **Điều kiện 3:**
- \( \angle AMB = \angle DMC \) (cùng nhìn từ điểm M ra).

=> Suy ra \( \triangle AMB \cong \triangle DMC \) (cạnh - cạnh - cạnh).

---

### b) Vẽ AH vuông góc BC tại H. Trên tia đối của tia HA, lấy điểm E sao cho \( HE = HA \). Chứng minh \( MA = ME \).

1. **Điều kiện 1:**
- \( HE = HA \) (theo giả thiết).
2. **Điều kiện 2:**
- \( AH \perp BC \).

Suy ra \( \triangle AHM \) và \( \triangle EHM \) có:
- \( AM = EM \) (chung một cạnh).
- \( HM = HM \) (chung cạnh).

Do đó, từ tính chất của tam giác vuông, ta có \( MA = ME \).

---

### c) Chứng minh DE song song BC.

1. Từ tính chất của các tam giác đã chứng minh ở phần a và b, ta có:
- \( \triangle AMB \cong \triangle DMC \) và \( MA = ME \).
2. Theo tính chất tương đương, hai tam giác này có các góc tương ứng bằng nhau:
- \( \angle AMB = \angle DMC \).
- \( \angle AHB = \angle EHD \) (cùng bằng 90 độ).

=> Từ đó, suy ra \( DE \parallel BC \) (căn cứ vào tiêu chí góc đồng vị).

Kết luận: Đã chứng minh được tất cả các yêu cầu của bài toán.