Cho △ABC. Trên AB, AC lấy điểm M, N sao cho BM = \(\frac{2}{3}\)AB, CN = \(\frac{2}{3}\)AC

Để tính tỷ số \(\frac{ON}{OB}\), ta sẽ sử dụng định lý Thales.

1. Đặt các điểm trong tam giác:
- \(A(0, 0)\)
- \(B(b, 0)\)
- \(C(c_x, c_y)\)

2. Tọa độ các điểm:
- Điểm \(M\) nằm trên \(AB\), với \(BM = \frac{2}{3} AB\), suy ra:
\[
M\left(\frac{1}{3}b, 0\right)
\]
- Điểm \(N\) nằm trên \(AC\), với \(CN = \frac{2}{3} AC\). Tính tọa độ \(N\) như sau:
\[
N = \frac{1}{3}A + \frac{2}{3}C = \frac{1}{3}(0, 0) + \frac{2}{3}(c_x, c_y) = \left(\frac{2}{3}c_x, \frac{2}{3}c_y\right)
\]

3. Tìm phương trình của \(BN\) và \(CM\):
- Phương trình đường thẳng \(BN\):
- Điểm \(B(b, 0)\) và \(N\left(\frac{2}{3}c_x, \frac{2}{3}c_y\right)\) cho ta hệ số góc:
\[
k_{BN} = \frac{\frac{2}{3}c_y - 0}{\frac{2}{3}c_x - b} = \frac{2c_y}{3c_x - 3b}
\]
- Phương trình \(CM\):
- Điểm \(C(c_x, c_y)\) và \(M\left(\frac{1}{3}b, 0\right)\):
\[
k_{CM} = \frac{0 - c_y}{\frac{1}{3}b - c_x} = \frac{-c_y}{\frac{1}{3}b - c_x}
\]

4. Tìm giao điểm \(O\) của hai đường thẳng \(BN\) và \(CM\):
- Giải hệ phương trình để tìm tọa độ điểm \(O\).

5. Sau đó, tính độ dài \(ON\) và \(OB\):
- Tính tỷ số \(\frac{ON}{OB}\) từ tọa độ \(O\), \(N\), và \(B\).

Bằng những phép tính chính xác ở các bước trên, bạn sẽ đạt được tỷ số cần tìm.